空间向量与立体几何——2024年高考数学真题模拟试题专项汇编（含解析）

（7）空间向量与立体几何 ———2024年高考数学真题模拟试题专项汇编 一、选择题 1．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 2．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为( ) A. B.1 C.2 D.3 3．[2024届·合肥一六八中学·模拟考试]设b，c表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是( ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 4．[2024届·浙江温州·二模]在正三棱台中，下列结论正确的是( ) A. B.平面 C. D. 5．[2024届·山东临沂·二模]已知正方体中，M，N分别为，的中点，则( ) A.直线MN与所成角的余弦值为 B.平面BMN与平面夹角的余弦值为 C.在上存在点Q，使得 D.在上存在点P，使得平面BMN 6．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则异面直线和所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 8．[2024届·河北邢台·模拟考试联考]在中，，，，E为AC的中点，点F在线段BC上，且，将以直线BC为轴顺时针转一周围成一个圆锥，D为底面圆上一点，满足，则( ) A. B.在上的投影向量是 C.直线与直线所成角的余弦值为 D.直线与平面所成角的正弦值为 9．[2024届·河南·模拟考试联考]将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接(球心O在圆柱内部).已知球O的半径为3，.若R为上底面圆的圆周上任意一点，设RO与圆柱的下底面所成的角为，圆柱的体积为V，则( ) A.可以取到中的任意一个值 B. C.的值可以是任意小的正数 D. 三、填空题 10．[2024届·辽宁省实验中学·模拟考试]如图，四边形是正方形，平面，且，M是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为_____. 11．[2024届·海南·模拟考试校考]米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为，两个底边长分别为和，则该米斗的外接球的表面积是_____． 四、双空题 12．[2024届·福建·阶段性考试]已知圆锥的母线，侧面积为，则圆锥的内切球半径为_____；若正四面体能在圆锥内任意转动，则正四面体的最大棱长为_____． 五、解答题 13．[2024年新课标Ⅰ卷高考真题]如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：平面PBC； （2）若，且二面角的正弦值为，求AD. 14．[2024年新课标Ⅱ卷高考真题]如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得， （1）证明：： （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 15．[2024届·湖北·模拟考试联考]如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面，M，O分别为，的中点，且，N在棱上，且满足，连接. （1）求证：平面； （2）设，求直线与平面所成角的正弦值. 参考答案 1．答案：B 解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以，得，所以圆锥的体积，故选B. 2．答案：B 解析：设正三棱台的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作平面ABC于点O，PO交平面于点，连接，，如图所示.由，可得，，又，，所以正三棱台的体积，解得，故.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则，因为平面ABC，所以是与平面ABC所成的角，在中，，故选B. 3．答案：D 解析：若，，则或与异面，故A错误； 若，，则或 ... ...