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课件网) 8.6.2 双曲线的综合问题 核心考点 师生共研 核心考点 师生共研 01 考点一 直线与双曲线的位置关系（师生共研） 例1 在平面直角坐标系
中，已知点
，
，点
满足
.记点
的轨迹为
. （1）求
的方程； 【解】因为
, 所以点
的轨迹
是以
,
分别为左、右焦点的双曲线的右支. 设双曲线的方程为
,半焦距为
,则
,
，得
,
, 所以点
的轨迹
的方程为
. 【解】因为
, 所以点
的轨迹
是以
,
分别为左、右焦点的双曲线的右支. 设双曲线的方程为
,半焦距为
,则
,
，得
,
, 所以点
的轨迹
的方程为
. （2）设点
在直线
上，过
的两条直线分别交
于
，
两点和
，
两 点，且
，求直线
的斜率与直线
的斜率之和. 【解】 设
，由题意可知直线
,
的斜率均存在且不为0，设直线
的方程为
,直线
的方程为
, 由
得
. 设
,
， 易知
, 则
,
, 所以
,
, 则
. 同理得
. 因为
, 所以
, 所以
, 即
. 又
，所以
,即
. 故直线
的斜率与直线
的斜率之和为0. 直线与双曲线位置关系的解题策略 （1）研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方 程，消元，得关于
或
的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与 双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不 等于0时，用判别式
来判定. （2）用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验. （3）弦长公式：设直线与双曲线交于
,
两点，直线的斜 率为
，则
. [注意]直线与双曲线的两个交点的位置都在左支上
,
；都在右支上
,
；在两支上
，双曲线焦点在
轴上时，可类似讨论. 【对点训练】 1.(2023·四川宜宾模拟)已知双曲线
及双曲线
，且
的离心率为
，若直线
与双曲线
，
都无交点，则
的值是( ) A.
B.
C.
D.
解析：选B.因为
的离心率为
，所以
，
,所以双曲线
和 双曲线
的渐近线方程均为
，而直线
与双曲线
， 都无交点，结合渐近线的定义可知，
.故选B. √ 2.(2023·山东青岛模拟)已知点
，
在双曲线
上，线段
的中 点
，则
( ) A.
B.
C.
D.
解析：选D.设
，
，则可得方程组
两式相减 得
， 即
， 因为
的中点为
，故
， √ 故
， 即直线
的斜率为3， 故直线
的方程为
， 联立
得
，由根与系数的关系得
，
， 则
，故选D. 考点二 双曲线中的最值（范围）问题（师生共研） 例2 已知双 ... ...
