课件22张PPT。导数的应用一、复习目标 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念, 并会用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值. 会利用导数求最大值和最小值的方法, 解决某些简单实际问题.二、重点解析 (4)用 f?(x)=0 的根将 f(x) 的定义域分成若干个区间, 列表考查各区间上 f?(x) 的符号, 进而确定 f(x) 的单调区间. 注意若 f(x) 在 (a, b), (b, c) 单调递增(减), 且 f(x) 在 x=b 处连续, 则 f(x) 在 (a, c) 单调递增(减). 1.利用导数判断单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域;(2)求导数 f?(x);(3)求 f?(x)=0 的根;2.求函数极值的步骤: (3)检查上面求出的 x 的两侧导数的符号, 如果左正右负, 那么 f(x) 在该点处取极大值, 如果左负右正, 那么 f(x) 在该点处取极小值.(1)求导数 f?(x);(2)求出 f?(x)=0 或 f?(x) 不存在的所有的点; 3.连续函数 f(x) 在 [a, b] 上有最大值和最小值, 求最值的一 般步骤: 4.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数, 把“问题情景”译为数学语言, 找出问题的主要关系, 并把问题的主要关系近似化、形式化, 抽象成数学问题, 再化归为常规问题, 选择合适的数学方法求解.(1)求极值; (2)把极值和 f(a), f(b) 相比较, 最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值;1.函数的单调性三、知识要点 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f?(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f?(x)<0, 则 y=f(x) 为减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f?(x)≥0 (或 f?(x)≤0). 注 当 f? (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正(或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f?(0)=0, f?(x)>0(x?0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数. 极大值与极小值统称为极值. 是函数 f(x) 的一个极小值, 记作: y极小值=f(x0), 如果对 x0附近的所有点, 都有 f(x)>f(x0), 就说 f(x0) 2.函数极值的定义 设函数 f(x) 在点 x0 及其附近有定义, 如果对 x0 附近的所有点, 都有 f(x)0, 右侧 f?(x)<0, 那么 f(x0) 是 极大值 ; (2)如果在 x0 附近的左侧 f?(x)<0, 右侧 f?(x)>0, 那么 f(x0) 是 极小值 . 一般地, 当函数 f(x) 在点 x0 处连续时4.求可导函数 f(x) 的极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(3)求方程 f?(x)=0 的根;5.函数的最大值与最小值 在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f(x) 在 [a, b] 上必有最大值与最小值. 但在开区间 (a, b) 内连续的函数 f(x) 不一定有最大值与最小值, 例如 f(x)=x, x?(-1, 1). 6.设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求 f(x) 在 [a, b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大 值, 最小的一个是最小值.(2)求导数 f?(x); (4)检查 f?(x) 在方程 f?(x)=0 的根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f(x) 在这个根处取得极大值; 如果左负右正, 那么 f(x) 在这个根处取得极小值.典型例题 1 已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数, 求 a 的取值范围.解: 由已知, f?(x)=3ax2+6x-1. 而 3ax2+6x-1<0(x?R)?当 f?(x)<0(x?R) 时, f(x) 是减函数. 由 y=x3 在 R 上为增函数知, a=-3 时, f(x)(x?R) 是减函数.?a<-3.又当 a=-3 时, f(x)=-3x3+3x2-x+1当 a>-3 时, 在 R 上存在一个区间, 其上有 f?(x)>0,∴当 a>-3 时, f(x) 不是减函数.综上所述, a 的取值范围是 (-∞, -3].典型例题 2 求下列函数的最值: (1)f( ... ...
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