中小学教育资源及组卷应用平台 22.3 相似三角形的性质 导学案 （一）学习目标： 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 2.掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方及其在实际中的应用. （二）学习重难点 重点：明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 难点：相似三角形的性质定理解决简单的实际问题. 阅读课本，识记知识： 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【例1】如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（ ） A．点G为的重心 B． C．当为等边三角形时， D． 【答案】D 【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到，可判断选项C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D． 【详解】解：A、∵的中线相交于点G， ∴点G为的重心，故选项A正确，不符合题意； B、∵点G 为的重心， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； C、∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、∵， ∴，则， ∴，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【例2】 《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 选择题 1.若两个相似三角形的面积之比为1∶9,则它们对应角的平分线之比为 ( ) A. B.3 C. D.3 2.如图，在中，为上一点，连接，，且与相交于点，，则（ ） A． B． C． D． 3.如图,在△ABC中,EF∥BC,=,四边形BCFE的面积为21,则△ABC的面积是 ( ) A. B.25 C.35 D.63 4.如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（ ） A． B． C． D． 5.如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB.过点D作DE⊥AD,DE交AC于点E.若DE=1,则△ABC的面积为 ( ) A.4 B.4 C.2 D.8 6.如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ） A．15 B．18 C．24 D ... ...
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