中小学教育资源及组卷应用平台 12.4 综合与实践 一次函数模型的应用 导学案 （一）学习目标： 1.结合实际问题建立一次函数模型，知道函数建模的一般步骤和方法. 2.应用函数模型解决简单的实际问题. （二）学习重难点： 重点:结合实际问题建立一次函数模型，知道函数建模的一般步骤和方法. 难点:应用函数模型解决简单的实际问题. 阅读课本，识记知识： 1.一次函数模型的应用 （1）利用函数解决实际问题的基本模式 （2）建立函数模型的一般步骤 获取数据; 列表、描点; 观察、猜想; 求出函数表达式; 检验给出答案. 2.选择方案 （1）选择方案 选择方案是指某一问题中,符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，觶选出最佳方案。涉及的问题类型常有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等。需要建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解. 2.用一次函数选择方案的一般步骤 （1）“析”:分析题意，弄清数量关系. （2）“列”：列出函数表达式。 不等式或方程(组). （3）“求”：求出 自变量展不同值时对应的函数值的大小，或函数的最大最小值. （4）“选”：结合实际雷要选择最佳方案。 注意:在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围。尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数解)。 【例1】如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系．若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时，秤砣到秤纽的水平距离为．则当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，设，用待定系数法求解析式，再令，求出x． 【详解】∵秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系 ∴设一次函数表达式为， ∵若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时，秤砣到秤纽的水平距离为 ∴当时，；当时，； ∴，解得 ∴一次函数表达式为， 当时， 解得， 即当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为 故选：B． 【例2】 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案． 【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，故①正确； 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为， 把代入可求得， ∴， 把代入，可得：， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为， 把和代入可得 ， 解得， ∴， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 乙的速度：， 乙的时间：， 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②正确； 甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③错误； 令，可得，即， 当时，可解得， 当时，可解得， 又当时，，此时乙还没出发， 当时，乙到达B城，； 综上可知当t的值为或或或时，两车相距40千米，故④不正确； 故选：B． 选择题 1.在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长．则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 2.我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确 ... ...
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