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课件网) 4.6 一元二次方程根与系数的关系 ﹡ 方程 两个根x1、 x2的值 两根的和 两根的积 x1 x2 x1+x2 x1·x2 3x2 -4x-4=0 2x2 +7x-4=0 6x2+7x-3=0 5x2-23x+12=0 2 -4 -2 4 请同学们观察表格 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能力． 请同学们猜想： 对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根x1、x2，那么x1+x2， x1·x2与系数a，b，c 的关系为 x1+x2= x1.x2= 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两 个实数根是x1，x2 那么x1+x2= ，x1·x2= 如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么 x1+x2=-p x1·x2= q 【归纳】 【解析】设方程的另一个根是x1，那么 2x1= ∴x1= . 又 +2= 答：方程的另一个根是 ，k的值是-7. ∴ k=-7 例1 已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一 个根及k的值. 【例题】 x1+x2 = ，x1.x2 = . 【解析】设方程的两个根分别是x1 ，x2那么 例2 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和.（2）倒数和. （1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 ∴ x12+x22 =（x1+x2）2 - 2x1.x2 =（ ）2-2（ ）= （2）— + — = ——— = ——— =3 x1 1 x1.x2 x1+x2 x2 1 【例题】 （1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2 （3）2x2+3x=0 （4）3x2=2 1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程） 【解析】（1）3，1 （2） ， （3） ，0 （4）0， 【跟踪训练】 （1）x2-6x-7=0 -1，7 （2）3x2+5x-2=0 ， （3）2x2-3x+1=0 3，1 （4）x2-4x+1=0 ， 2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根 （口答） （√） （×） （×） （× ） 通过本课时的学习，需要我们： 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题． 1.（日照·中考）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（ ） A.－3，2 B. 3，-2 C. 2，－3 D. 2，3 【解析】选A.根据根与系数的关系得： x1+ x2= -p=2+1=3， x1·x2=q=2，即p=－3，q=2. 2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根 是 ，m的值是 . 3.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的 关系，求下列各式的值. （1）（x1+1)(x2+1） （2）— + — x1 x2 x1 x2 16 4.（珠海·中考）已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个 根，求m的值及方程的另一根x2. 【解析】由题意得： 解得m=-4, 当m=-4时，-1+x2=-(-4), x2=5所以方程的另一根x2=5. 即m=-4，x2=5. 认识一位巨人的研究方法，对于科学的进步并不比发现本身更少用处.科学研究的方法经常是极富兴趣的部分。 ———拉普拉斯
