3.5　三角形的内切圆 分层练习（含答案） 2024-2025学年数学青岛版九年级上册

二十三　三角形的内切圆 【A层 基础夯实】 知识点　三角形内切圆及内心的性质 1.已知☉O为△ABC的内切圆,则点O是△ABC的 (D) A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2.下列说法中,正确的是 (B) A.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B.任何三角形有且只有一个内切圆 C.三点确定一个圆 D.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等 3.(2024·烟台模拟)如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 (C) A.56° B.62° C.68° D.78° 4.如图,已知△ABC的内切圆☉O,与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是　70°　. 5.如图,☉O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∠DOE=120°, ∠EOF=110°,则∠A=　50°　,∠B=　60°　,∠C=　70°　. 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点. (1)求证:四边形ODCE是正方形; (2)如果AB=5,AC=3,求内切圆☉O的半径. 【解析】(1)∵☉O是△ABC的内切圆, ∴OD⊥BC,OE⊥AC. 又∵∠C=90°,∴四边形ODCE是矩形. ∵OD=OE,∴四边形ODCE是正方形. (2)设☉O的半径为r, ∵四边形ODCE是正方形, ∴OD=DC=CE=r. 在Rt△ABC中,BC==4, 则BD=4-r,AE=3-r. ∵☉O与△ABC各边分别相切于点D,E,F, ∴AE=AF=3-r,BF=BD=4-r. ∵AB=AF+BF=5,∴3-r+4-r=5, 解得r=1, ∴内切圆的半径是1. 【B层 能力进阶】 7.(教材再开发·P104习题3.5T4变式)如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,已知∠A=110°,则∠DEF的度数是 (A) A.35° B.40° C.45° D.70° 8.(2023·仙桃中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=　35°　. 9.一个直角三角形两条直角边的长分别为6,8,则这个直角三角形的内心与外心之间的距离为 　. 10.已知,如图,AB为☉O的直径,△ABC内接于☉O.BC>AC,=.连接CD交AB于点E,P为线段CD上一点,且BD=PD,连接BP. (1)求证:点P是△ABC的内心; (2)已知☉O的直径是5,CD=7,求BC的长. 【解析】(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵=,∴∠ACD=∠BCD, ∴CD平分∠ACB. ∵PD=BD,∴∠BPD=∠PBD. ∵∠BPD=∠BCP+∠CBP,∠DBP=∠ABD+∠ABP,∠ABD=∠BCD, ∴∠CBP=∠ABP,∴BP平分∠ABC, ∴点P是△ABC的内心. (2)连接AD,过点B作BH⊥CD于H,如图所示: ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°. ∵=,∴AD=BD, ∴△ABD是等腰直角三角形,∠ABD=∠BAD=45°, ∴2BD2=AB2,∴BD=AB=5. ∵∠BCD=∠BAD=45°,BH⊥CD, ∴∠BCH=∠CBH=45°, ∴BH=CH,∴BC=BH. ∵BD2=DH2+BH2,CD=7, ∴25=(7-BH)2+BH2,∴BH=3或4. ∵BC>AC,∴BC=4. 11.(2024·聊城期末)如图,△ABC中AB=AC,D为AC边上一点,☉I为△ABD内切圆,G,E,F为切点. (1)求证:BE=CF; (2)若BD=10,CD=4,求BE的长. 【解析】(1)∵☉I为△ABD内切圆, ∴AG=AF,BG=BE, ∵AB=AC,∴BG=CF,∴BE=CF; (2)∵☉I为△ABD内切圆,∴DF=DE, 设DF=DE=x,∵CD=4,则CF=4+x, ∵BE=CF,∴BE=4+x, ∴BD=BE+DE=4+x+x=4+2x, ∵BD=10,∴4+2x=10,解得x=3, ∴BE=4+x=7,即BE的长为7. 【C层 创新挑战（选做）】 12.(抽象能力、运算能力、推理能力)(2024·威海期末)如图,Rt△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P是边AC上的一动点,PH⊥AB,垂足为H. (1)求☉O的半径的长及线段AD的长; (2)设PH=x,PC=y,求y关于x的函数关系式. 【解析】(1)连接AO,DO.设☉O的半径为r. 在Rt△ABC中,由勾股定理得AC==4,则☉O的半径r=(AC+BC-AB)=×(4+3-5)=1; ∵CE,CF是☉O的切线,∠ACB=90°, ∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,CF=CE, ∴四边形CEOF是正方形,∴CF=OF=1; 又∵AD,AF是☉O的切线,∴AF=AD; ∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3, 即AD=3; (2)在Rt△ABC中, ... ...