相似三角形的判定(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1 相似三角形的判定定理1的应用 1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是AD上一点,且BE=BD.求证:△ABE∽ △ACD. 【证明】∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. ∵BE=BD,∴∠BED=∠BDE, ∴∠AEB=∠ADC,∴△ABE∽△ACD. 2.(2024·烟台期中)如图,在平行四边形ABCD中,E为AB边上一点,连结CE,F为CE上一点,且∠DFE=∠A.求证:△DCF∽△CEB. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,DC∥AB, ∴∠A+∠B=180°,∠DCF=∠BEC. ∵∠DFC+∠DFE=180°,∠DFE=∠A, ∴∠DFC=∠B, ∴△DCF∽△CEB. 3.(2024·北京期中)如图,∠MAN=30°,点B,C分别在AM,AN上,且∠ABC=40°. (1)尺规作图:作∠CBM的平分线BD,BD与AN相交于点D;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)所作的图中,求证:△ABC∽△ADB. 【解析】(1)如图所示,线段BD即为所求; (2)∵∠ABC=40°, ∴∠MBC=140°, ∵BD平分∠MBC, ∴∠MBD=×∠MBC=70°, ∵∠MBD是△ADB的一个外角, ∴∠ADB=∠MBD-∠A=70°-30°=40°, ∴∠ABC=∠ADB. ∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADB. 知识点2 相似三角形的判定与性质的综合应用 4.如图所示,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,E,F五个点均在格点上,AB∥DE,AC∥DF,则的值为(C) A. B. C. D. 5.(2024·温州期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是CB上一点,ED⊥AB于点D,若BC=10,AC=6,DE=4,则图中阴影部分的面积为 . 6. (2024·上海期中)如图,D在△ABC的边BC上,若∠DAC=∠B,且BD=5,AC=6,则CD= 4 . 7.(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4. (1)证明:△ABC∽△DEB. (2)求线段BD的长. 【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, ∴∠A=∠CBE=∠D=90°, ∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°, ∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB. (2)∵△ABC∽△DEB,∴=, ∴=,∴BD=3. 【B层 能力进阶】 8.(2024·大连期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,下列四个结论中: ①∠B+∠DAC=90°; ②∠B=∠DAC; ③CD∶AD=AC∶AB; ④AB2=BD·BC. 其中正确的有 ②③④ . 9. (2024·福州期中)如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上, ∠ADE=60°,如果BD=4DC,DE=4,那么AD= 5 . 10.如图,在菱形ABCD中,E为BC边上一点,∠AED=∠B. (1)求证:△ABE∽△DEA; (2)若AE=4,DE=6,求菱形ABCD的边长. 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB, 又∵∠B=∠AED,∴△ABE∽△DEA; (2)∵△ABE∽△DEA, ∴=, ∴AE·DE=AB·DA. ∵四边形ABCD是菱形,AB=AD, ∴AB2=AE·DE=24, ∴AB=2或-2(舍去). ∴菱形ABCD的边长为2. 11.(2024·广州期末)如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE; (1)求证:△ABE∽△ECD; (2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长; (3)当△AED∽△ECD时,请写出线段AD,AB,CD之间的数量关系,并说明理由. 【解析】(1)∵AB⊥BC,DC⊥BC, ∴∠B=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°, ∵AE⊥DE,∴∠AED=90°, ∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠DEC=∠BAE, ∴△ABE∽△ECD; (2)Rt△ABE中,∵AB=4,AE=5, ∴BE=3,∵BC=5,∴EC=5-3=2, 由(1)得:△ABE∽△ECD,∴=, ∴=,∴CD=; (3)线段AD,AB,CD之间的数量关系:AD=AB+CD; 理由:过E作EF⊥AD于F(图略), ∵△AED∽△ECD,∴∠EAD=∠DEC, ∵∠AED=∠C,∴∠ADE=∠EDC, ∵DC⊥BC,∴EF=EC,∵DE=DE, ∴Rt△DFE≌Rt△DCE(H.L.), ∴DF=DC,同理可得:△ABE≌△AFE, ∴AF=AB,∴AD=AF+DF=AB+CD. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,BE平分∠ABC.BE分别与AC,CD相交于点E,F. (1)求证:△AEB∽△CFB; (2)求证:=; (3)若CE=5,EF=2,BD=6.求AD的长. 【解析】(1)∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCD=90°, ∵CD为AB边上的高, ∴∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°, ... ...
