解三角形拓展培优提升专题最值和取值范围问题

解三角形拓展： 三角形中线，角平分线问题 、最值、取值范围问题 一、必备知识分层透析 一、三角形中线问题以及定比分点线段长 方法1、向量法 如图在中，为的中点， 如果不是中点，是几等分点也可以用此法，结合定比分点公式。 方法2、角互补 在中有：; 在中有： 二、角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 方法1：内角平分线定理： 或 方法2：等面积法(使用频率最高） 方法3：边与面积的比值：（这个结论也可以结合定比分点公式应用） 二、重点题型分类研究 题型1: 向量化法、角互补法 题型2：三角形角平分线（比例法） 题型3：三角形角平分线（等面积法） 题型4：边长周长面积最值问题 一般考虑结合基本不等式，也可以考虑函数化。有时可以构造隐圆。 题型5：边长周长面积取值范围问题 一般考虑三角函数化，有时可以构造隐圆。 题型1: 三角形中线问题（向量化法和角互补法） 例题1．锐角中，角、、所对的边分别为、、，且 (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) （1）因为，所以， 即， 又因，所以 又由题意可知， 所以，因为，所以. （2） 由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得，所以， ， 所以 ，由题意得，解得， 则， 所以所以 所以所以中线CD长的取值范围为 例题2．在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题． 在中，角，，的对边分别为，，，_____． (1)求角； (2)若，，求的边上的中线的长． 【答案】(1) (2) (1)解：（1）若选①，即，得， ，或（舍去）， ，； 若选②：， 由正弦定理，得， ，，，则，，； (2) 解：是的边上的中线，， ， ， ． 例题3．在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若边上的中线长为，且，求的面积. 【答案】(1) (2) (1)因为，由正弦定理得， 所以，化简得， 因为，所以，因为,所以； (2) 设中线交于，则， 由余弦定理得，即， 化简得，因为，所以， 所以. 题型2：三角形角平分线（比例法、等面积法） 例题1．在中，的角平分线与边相交于点，满足. (1)求证：； (2)若，求的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 解析：（1）证明：因为为的角平分线，故， 在中，由正弦定理可得：①， 在中，由正弦定理可得：②， 由①和②可得， 又，故， 可得：，即； （2）由题意可知，，由（1）知，不妨设. 在中，由余弦定理可得：， 即③， 在中，由余弦定理可得：， 即④， 由又，故， 由③和④可解得：，， 从而可得，，， 在中，由余弦定理得：， 又，故. 例题2．已知的内角的对边分别为，满足. (1)求角； (2)是的角平分线，若，的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2). （1）由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又， 则； （2） 由面积公式得， 解得， 又是的角平分线， 则 ， 故. ， 则. 例题3．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，为方程的两个实数根，且的角平分线交于点，求． 【答案】(1)； (2)2. (1)依题意，，即， 在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：， 因，解得， 所以． (2)依题意，，，而是的角平分线，则， 即，整理得，解得， 所以． 例题4．已知中，角，，所对的边分别为，，，点在边上，为的角平分线．． (1)求； (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) （1），，即 由正弦定理可得 ， 即 （2），即 设，则 ，解得 例题5．如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线． (1)求及线段的长； (2)求的面积． 【答案】(1)，BC＝6 (2) (1)∵，∴，∴，∴ 由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6. (2)∵，，∴，∴， ∵AE平分∠BAC，， 由正弦定理得：， 其中，∴， ∵AD为BC边的中线，∴，∴. 题型3：周长（边长）（最值问题） 例题1．的 ... ...