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课件网) 九年级苏科版数学上册 第二章 对称图形———圆 第二课时 垂径定理 2.2 圆的对称性 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决 一些简单的计算、证明和作图问题. （重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. （难点） 情景导入 你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m. 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 垂径定理 新知探究 O O 在纸上画⊙O，把⊙O剪下并折叠，使折痕两旁的部分完全重合，你发现了什么？ 可以发现无论我们怎么折，这个折痕总是经过⊙O的. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴. 操作与思考 画⊙O和⊙O的直径AB、弦CD，使AB⊥CD，垂足为P（如右图）.在所画图中有哪些相等的线段、相等的弧？ · A B P C D PC=PD ， AC=AD ， BC=BD ， ︵ ︵ ︵ ︵ P C D A B O P C (D) A B O 我们可以运用图形运动的方法证实小丽、小明的猜想： 将右图中的ADB沿直径AB翻折. 因为圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴， 所以ADB与ACB重合. 又因为∠APD = ∠APC = 90°， 所以射线PD与射线PC重合（如图所示）， 于是点D与点C重合. 这样，PC=PD，AC=AD，BC=BD. ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ 连接OC、OD. 如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD.垂足为P ∴ PC=PD，∠BOC=∠BOD. 在△OCD中，∵OC=OD，OP⊥CD ， ∴ ∠AOC=∠AOD. （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）. 以上结论还可以用下面的方法加以证实： ∴ BC =BD, AC =AD. ︵ ︵ ︵ ︵ · O C D A B P 概念归纳 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 概念归纳 1.“垂直于弦的直径”中的“直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线. 其实质是：过圆心且垂直于弦的线段或直线. 2.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 课本例题 例1. 如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？ AC=BD 过点O作OP⊥AB于P. ∵ OP⊥AB， ∴ AP=BP ，CP=DP （垂直于弦的直径平分弦）. ∴ AP－CP=BP－DP, 即 AC=BD. P 你还有其他解题方法吗？ 例1. 如图，☉O中，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D. AC与BD相等吗？为什么？ AC=BD 连接OA、OC、OD、OB. ∵ OA=OB，OC=OD, ∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC. ∴∠AOC=∠BOD. ∴△AOC≌△BOD. ∴AC=BD. 课本例题 拓展与延伸 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD. 试问：AC与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ∵ AB∥CD ,OE⊥AB， 解：AC= BD. 过点O作OE⊥AB于E，并延长交弦CD、⊙O 于F、G. ∴ OF⊥CD. ∴ AG=BG, CG=DG. ∴AC=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ E F G 1.下列图形是否具备垂径定理的条件？ 如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 练一练 概念归纳 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 概念归纳 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： (1)过圆心； (2)垂直于弦； (3)平分弦(非直径)； (4)平分弦所对的劣弧； (5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”. 你知道为什么要强调非直径吗？ · O A B D C P 1.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点. 求证：AB⊥CD， ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD ... ...
