第17讲 第八章 立体几何初步 章末题型大总结 一、数学思想方法 1、函数与方程的思想 1．（2023上·全国·高三阶段练习）在长方体中，，，若线段上存在一点，使得，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若线段上存在一点，使得，如下图示： 则，令，则， 设且，有，则，， 所以，整理得， 故在上有零点，而且对称轴为，开口向上， 所以，只需，则，即的取值范围是. 故选：D 2．（2023·全国·模拟预测）已知正方体的外接球表面积为12，点E在线段上运动，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正方体的性质知：其外接球半径为，则，则， 过点E作AD的垂线，垂足为H，连接DE， 则，又， ∴．又， ∴当时，取得最小值11，故， 故选：D． 3．（2022下·山西运城·高三统考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是 . 【答案】 【详解】由题设，面，又面，面面， 所以，同理可证，故， 又面，又面，面面， 所以，同理可证，故， 故为平行四边形，又，即，则为矩形， 若，则，又， 所以，，又面积为， 所以，故当时. 故答案为：. 2、数形结合思想 1．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 2．（2023上·浙江温州·高二校联考期中）在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，面，连接， 因为与平面所成角为，所以，过作， 如图： 因为，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，如图： 所以， 所以， 在中，由题意，， 所以 所以， 所以长度的取值范围为. 故选：A 3．（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里. 【答案】50 【详解】 如图，将圆锥沿剪开， 则圆锥的母线即扇形的半径， 圆锥底面圆的周长即扇形的弧长为， 所以圆心角，即. 又，， 所以，. 所以，这段铁路的长度为公里. 故答案为：50. 3、转化与化归思想 1．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】点M在线段上运动，即动线段在内运动， 动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于,最小值等于 在四边形，， 由余弦定理可求得， 所以， 故的周长最小值等于， 故选：B. 2．（2023上·四川南充·高二仪陇中学校考阶段练习）在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形． ①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中， 由勾股定理得； ②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中， 此时. ③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为， 在直角三角形中，由勾股定理得． ④若把面和面展开在同一个面内， 过作与行的直线，过作与平行的直线， 所作两 ... ...
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