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课件网) 7.4.2 超几何分布 高二数学选择性必修 第三册 第七章 随机变量及其分布 学习目标 1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布; 2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值与方差; 3.核心素养: 数学抽象、数学建模、数学运算. 一、回顾旧知 2.二项分布 X 0 1 k n P 1.n重伯努利试验 二、探究新知 1.问题. 已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求:随机变量X的分布列. 如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08 且各次抽样的结果相互独立,此时X~B(4,0.08). 如果采用不有放回抽样,那么抽到4件产品中次品数X是否服从二项分布 如果不服从，那么X的分布列是什么 2.超几何分布 一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式， 那么称随机变量X服从超几何分布. 超几何分布 1.公式中个字母的含义 N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数(如次品数) 2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列. 3. “任取n件,恰有z件次品”是一次性抽取,用组合数列式. 4.各对应的概率和必须为1. 三、巩固新知 解: 1.例4.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选 中的概率. 设X表示选出的5名数学中含甲的人数(只能取0或1), 则X服从超几何分布, 且N=50,M=1,n=5, 因此甲被选中的概率为 1.判断随机变量是否服从超几何分布; 2.根据已知条件，确定M,N,n对应的值; 3.代入超几何分布的概率公式，求出结果; 解: 另解: 2.例5. 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 3.变式训练1 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率. 解: 设甲班恰有X人被选到, 则X服从超几何分布, 且N=12,M=4,n=4, 变式:求甲班至多1名同学被选到的概率. 4.变式训练2 解: 一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球,3个黄球，2个蓝球，从中任取3个球. (1).求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率. (2).设X表示取到的蓝色小球的个数,求X的分布列和数学期望. 探究: 服从超几何分布的随机变量的均值是什么 5.超几何分布的均值 若X服从超几何分布, 解: 6.例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解(2) 采用不放回摸球估算的结果更可靠些 6.例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 0.05 0 0.10 0.15 0.20 0.25 两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布. 这两种分布的均值相等都等于8. 但从两种分步的概率分步图看,超几何分布更集中在均值附近. 当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小. 此时，超几何分布可以用二项分步近似. 7.二项分布与超几何分布区别和联系 1.区别 一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样, 而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样. 2.联系 当次品的数量充分大,且抽取的数 ... ...
