2024-2025学年福建省部分优质高中高二上学期入学质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为( ) A. B. C. D. 2.已知，是相互垂直的单位向量，则( ) A. B. C. D. 3.如图，在平行六面体中，点，分别为，的中点，则( ) A. B. C. D. 4.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 5.如图所示，正方体的棱长为，点分别为的中点，则下列说法正确的是( ) A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成的角为 6.已知，分别是正四面体中棱，的中点，若点满足则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.如图，在棱长为的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论( ) A. 的最小值为 B. 四面体的体积为 C. 有且仅有一条直线与垂直 D. 存在点，使为等边三角形 8.在正四面体中，点在棱上，满足，点为线段上的动点，则( ) A. 存在某个位置，使得 B. 存在某个位置，使得 C. 存在某个位置，使得直线与平面所成角的正弦值为 D. 存在某个位置，使得平面与平面夹角的余弦值为 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是( ) A. 若，则直线平面 B. 若，则平面平面 C. 若，则平面所成锐二面角的大小为 D. 若，则直线与平面所成角的大小为 10.下列说法错误是( ) A. 若是空间任意四点，则有 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若共线，则 D. 对空间任意一点与不共线的三点，若其中，则四点共面 11.在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有( ) A. 当点为三角形的重心时， B. 当时，的最小值为 C. 当点在平面内时，的最大值为 D. 当时，点到的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间向量，若，则实数 ． 13.平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量在四棱锥中，已知是平行四边形，，且面，则向量在向量方向上的投影向量是 结果用表示． 14.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： 存在点，使； 存在点，使； 到直线和的距离相等的点有无数个； 若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且． 证明：平面． 求二面角的正弦值． 16.本小题分 在长方体中，点，分别在，上，且，． 求证：平面平面； 当，，求平面与平面的夹角的余弦值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面． 求证：平面； 若，，点在棱上，且二面角的大小为． 求证：； 设是线段上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18.本小题分 瀑布图是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”图 埃舍尔多面体可以用两两垂直 ... ...
