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课件网) 曲线与方程 椭圆 双曲线 抛物线 第4章 椭圆、双曲线、抛物线 4 .1 曲线与方程 1. 理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 2. 掌握求曲线方程的方法与步骤，根据已知平面曲线求出相 应的曲线方程. 教学目标 教学重点 求曲线方程的方法与步骤，会求已知曲线的方程. 教学难点 对“曲线的方程”与“方程的曲线”概念的理解. 启发、讨论、讲授、对比、练习 教学方法 4 .1 曲线与方程 图4—1中：直线 的方程是_____ . 若点 的坐标满足上述方程， 则点 在直线 _____ ；若点 为直线 上任意一点，则点 的坐标满足方程_____ . 因此，我们把直线 称为方程_____的直线， 把该方程称为直线 的方程. 实例考察 图4—1 4 .1 曲线与方程 图4—2中:圆 的方程是_____ . 若点 的坐标满足上述方程,则点 在圆_____ ；若点 为圆上任意一点，则点 的坐标满足方程_____ . 因此，我们把圆 称为方程_____的圆, 把该方程称为圆 的方程. 实例考察 图4—2 4 .1 曲线与方程———曲线和方程的概念 在平面直角坐标系中，如果某条曲线（可以将其看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上点的坐标都是二元方程的解；同时以方程 的解为坐标的点都在曲线上，那么， 方程称为曲线 的方程，而曲线 是这个方程的曲线. 4 .1 曲线与方程———曲线和方程的概念 例题解析 例1 利判断点 ，是否在方程的曲线上. 解 因为，即是方程的解，所以点点 在该方程的曲线上. 因为，即 不是方程的解，所以点不在该方程的曲线上. 4 .1 曲线与方程———曲线和方程的概念 例题解析 例2 说明过点且平行于 轴的直线 与方程所代表的曲线之间的关系. 解 过点且平行于 轴的直线方程是.因为在直线 上的点的坐标都满足方程，所以直线 上的点都在所代表的曲线上. 但是，以方程| 的解为坐标的点不全在直线 上，因此不是直线l的方程，直线 只是方程| 所表示的曲线的一部分. 4 .1 曲线与方程———曲线和方程的概念 1. 判断点 ， ， 是否在方程的曲线上. 2. 已知方程的曲线通过点，求的值. 知识巩固1 4 .1 曲线与方程———求曲线的方程 在平面上有两定点现要寻找点使⊥，你能求出点的轨迹方程吗？ 以线段的中点为原点, 以所在的直线为轴， 建立直角坐标图4—4）. 设，则点的坐标分别为. 现设点，由⊥，得，即 整理得 所以方程 就是点 的轨迹方程. 图4—4 4 .1 曲线与方程———求曲线的方程 由此，我们可以总结出已知平面曲线求曲线方程的主要步骤： (1) 建立适当的平面直角坐标系. (2) 设曲线上任意一点 （或动点）的坐标为. (3) 写出点的限制条件，即列出等式. (4) 将点的坐标代入等式，得方程. (5) 化简方程此过程应为同解变形）. 由于化简过程是同解变形，所以可以省略证明 “以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点” 的过程. 例题解析 例 已知点 求线段 的垂直平分线 的方程. 解 为线段 的垂直平分线 上的任一点，由线段垂直平分线的性质可知 由两点距离公式，得 化简得直线 的方程为 4 .1 曲线与方程———求曲线的方程 知识巩固2 1. 求到原点的距离为 的点的轨迹方程. 2. 已知两定点 ，现有动点使得⊥，求点 P 的轨迹方程. 4 .1 曲线与方程———求曲线的方程 如图4—8所示，以过焦点的直线为 轴，线段的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系. 设 ( ， )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么，焦点的坐标分别是 ，.又设点 与的距离之和等于常数，于是有 应用两点间的距离公式，并把 ， 的坐标代入，得 整理得 图4—8 4 .1 曲线与方程———求曲线的方程 由椭圆的定义可知，2 2 ，即 0，所以.为 了使方程变得简单整齐，可令，则方程变为 同除以，得 这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在 轴上，焦点是 ... ...
