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课件网) 16.3 角的平分线 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 易错易混分析 ● 方法技巧点拨 ■考点一 角平分线的性质定理 内容 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 符号 语言 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线，P 为 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E，∴PD=PE. 16.3 角的平分线 续表 注意 （1）角的平分线是射线，而角的对称轴是直线； （2）根据角平分线的性质定理可由三个条件（一条 角平分线，两个“垂直”）得到一个结论（垂线段相等），因此这个定理是证明两条线段相等的常用方法之一； （3）“距离”是指点到直线的垂线段的长，而不是指任意线段的长； （4）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴 16.3 角的平分线 16.3 角的平分线 归纳总结 已知角平分线及其上一点到角的一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线的已知点向另一边作垂线段，即构造“角平分线的性质定理”的基本图形，得到相等的两条垂线段. 16.3 角的平分线 典例 1 如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点 P 在∠BAC 的平分线上.求证：点 P 到△ABC 的三边距离相等. 对点典例剖析 16.3 角的平分线 ［解题思路］ ［答案］ 证明：如图，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，作 PE⊥BC 于点 E，作 PF⊥AC 于点 F，∵BP 是△ABC 的外角平分线，∴PD=PE，∵ 点 P 在∠BAC 的平分线上，∴PD=PF，∴PD=PE=PF，∴ 点 P 到△ABC 的三边距离相等. 16.3 角的平分线 ■考点二 角平分线性质定理的逆定理 内容 到角的两边距离相等的点在角平分线上 符号 语言 如图，∵PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E，且 PD=PE，∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 注意 应用逆定理的条件：①找出这一点到角两边的垂线 段；②证明两条垂线段相等.这一点与角的顶点的连线就是角平分线 16.3 角的平分线 续表 注意 角平分线的判定有两种方法：①角平分线性质定理 的逆定理；②定义法 根据角平分线性质定理的逆定理可由三个条件（两 个“垂直”，一个“垂线段相等”）得到一个结论（点在角平分线上），因此这个定理是证明两个角相等的常用方法之一 16.3 角的平分线 16.3 角的平分线 归纳总结 （1）三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等； （2）三角形的两个外角的平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等； （3）到一个三角形三边距离相等的点共有 4 个. 16.3 角的平分线 典例 2 如图，在△ABC 中，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC于点 F，且∠BDE=∠CDF，BE =CF．求证：AD 平分∠BAC. 对点典例剖析 16.3 角的平分线 ［解题思路］ 16.3 角的平分线 ［答案］ 证明：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED 和△CFD 中，∵∠BDE=∠CDF，∠BED=∠CFD，BE=CF，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF.又 ∵DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 平分∠BAC． ■考点三 作角的平分线 角的平分 线的作法 折叠法 将已知角折叠，使角的两边重合，折痕即为角平分线所在的直线 角的平分 线的作法 度量法 用量角器度量已知角的度数，并除以 2，再用量角器画出这个角的平分线 16.3 角的平分线 续表 角的 平分 线的 作法 尺规 作图 用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并指出结论 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1）以点 O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； 16.3 角的平分线 续表 角的 平分 线的 作法 尺规 作图 （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 2 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； （3）画射线 OC，射线 OC 即为所求 16.3 角的平分线 续表 注 意 尺规作图时两弧的交点应在角的内部，因为要作的是角的平分线 尺规作图作一个角 ... ...
