4.1.2 指数函数的性质与图象 第1课时 指数函数的概念、性质与图象 [学习目标] 1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域. 导语 古希腊著名数学家阿基米德与国王下棋.国王输了,问阿基米德要什么奖赏 阿基米德说:“我只要在棋盘上的第一格放一粒米,第二格放二粒,第三格放四粒,第四格放八粒…….按此方法放到第64个格子就行了.”国王一听,随即答应了.但是所有64个方格上的颗粒总数为1+2+4+8+…+263,经过计算约为18.447亿吨大米!国王如何赏得起 我们就从这个关于数学指数增长的故事开始今天的学习吧! 一、指数函数的概念 问题1 用列表、描点、连线的画图步骤,先完成下列表格,再画出指数函数y=2x与y=的图象. x -2 -1 0 1 2 y=2x y= 提示 (1) 1 2 4 4 2 1 (2)y=2x和y=的图象如图所示. 知识梳理 指数函数的定义 一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 注意点: 指数函数解析式的三个特征 (1)ax的系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数a. (3)自变量x为指数. 例1 (1)下列函数中是指数函数的是 ( ) A.y=2·3x B.y= C.y=3x D.y=(-2)x 答案 C 解析 A中,3x的系数是2,故A不是指数函数;B中,的指数是x+1,不是自变量x,故B不是指数函数;C中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故C是指数函数;D中,底数-2<0,故D不是指数函数. (2)已知指数函数y=(2b-3)ax经过点(1,2),则a= ,b= . 答案 2 2 解析 由指数函数定义可知2b-3=1,即b=2.将点(1,2)代入y=ax,得a=2. 反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式. (2)明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数. 跟踪训练1 (1)若函数y=a2(2-a)x是指数函数,则 ( ) A.a=1或-1 B.a=1 C.a=-1 D.a>0且a≠1 答案 C 解析 因为函数y=a2(2-a)x是指数函数, 所以即a=-1. (2)已知函数f(x)是指数函数,且f=,则f(3)= . 答案 125 解析 设f(x)=ax(a>0且a≠1),由f=得===, 所以a=5,即f(x)=5x,所以f(3)=53=125. 二、简单指数函数的图象 问题2 再选取底数,a=3,a=4,a=,a=,在同一个坐标系中画出相应的指数函数的图象,观察这些图象的位置和变化趋势. 提示 知识梳理 函数y=ax(a>0且a≠1)的图象 a>1 0
1时,底数越大,图象越靠近y轴. (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 例2 (1)下列几个函数的图象如图所示:①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx.则a,b,c,d与0和1的关系是 ( ) A.0d>1,当底数大于0小于1时,1>a>b>0,所以00且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有 ( ) A.00 B.a>1,且b>0 C.01,且b<0 答案 C 解析 函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象是由函数y=ax的图象经过向上或向下平移而得到的,因其图象不经过第一象限,所以a∈(0,1).若经过第二、三、四象限,则需将函数y=ax(01和00,且a≠1)过定点(0,1),可令所给函数解析式中的指数为0,即可求出横坐标,再求纵 ... ... 