2024年北京市清华附中高三（上）统练三数学（PDF版，含答案）

统练 3 一、选择题 共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A ={x 1 x 1}， B ={x 0≤ x ≤2}，则 A B = （A）{x 1 x 2} （B）{x 1 x≤2} （C）{x 0≤ x 1} （D）{x 0≤ x ≤2} （2）若复数 z 满足 (1 i) z = 2 ，则 z = （A） 1 i （B） 1+ i （C）1 i （D）1+ i （3）已知实数 a,b满足 a b，则下列不等式中正确的是 （A） | a | b （B） 2 2a | b | （C） a ab （D） ab b 1 1 1 （4）已知 a = 2 3，b = log2 ，c = log 1 ，则( ) 3 3 2 （A） a b c （B） a c b （C） c a b （D）c b a （5）已知函数 f (x) = log x x2 + 2x 1，则不等式 f (x) 0 的解集为 2 (A) (1,4) (B) (0,1) (4,+ ) (C) (1,2) (D) (0,1) (2,+ ) （6）若 P 是△ABC内部或边上的一个动点，且 AP = xAB + y AC ，则 xy的最大值 是 1 1 （A） （B） （C）1 （D）2 4 2 （7）无穷等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，公差为 d ，则“ Sn 有最大值”是“ d 0 ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 第1页 共8页 （8）已知函数 y = Asin( x + )的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移 t(t 0)个单位长度，得到函数 y = f (x)的图象.若函数 y = f (x)为奇函数，则 t的最小值是 π π （A） （B） 12 6 π π （C） （D） 4 3 （9）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长 度为 1 的线段，第 1 次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两 段；第 2 次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段； 按照这种规律一直操作下去. 若经过 n次这样的操作后，去掉的所有线段 99 的长度总和大于 ，则 n的最小值为 100 （参考数据： lg2 0.301， lg3 0.477） 第1次操作 第2次操作 （A）9 （B）10 第3次操作 （C）11 （D）12 xe x , x 0 1 （10）若函数 f (x)= 2 的值域为 [ ,+ ) ，则实数 a 的取值范围是 ax 2x , x 0 e （ ） （A） (0, e) （B） (e, + ) （C） (0, e] （D）[e, + ) 二、填空题 共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分. （11 ）已知 tan( ) = 2，则 tan = _____ 3 4 （12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 3 3 直线 y = x 对称，若 sin = , 则 cos = _____． 5 5 （13）已知向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的 边长为1，则 (a+ b) c = ___0____； a b = ___3____． 第2页 共8页 （14）若函数 2f (x) = sin( x+ )( 0)和 g(x) = cos (x + ) sin2 (x + ) 的图象的对称 6 中心完全重合，则 =____2_____； g( ) =_____±1_____． 6 （15）已知各项均不为零的数列{an}，其前 n 项和是 Sn ， a1 = a ，且 Sn = anan+1 （ n =1,2, ）. 给出如下结论： ① a2 =1； ②{an}为递增数列； ③若 n N*， an+1 an ，则 a的取值范围是 (0,1)； a ④ m N*，使得当 k m 时，总有 2k 1+ e 10 . a2k 1 其中，所有正确结论的序号是 ．①③④ 三、解答题 共 6 道小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过 程。 (16) (本小题 14 分) 已知{an}是等差数列，满足 a1 = 3, a4 =12，数列{bn}满足 b1 = 4, b4 = 20 ，且{bn an}为等比数列． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{b2n}的前 n项和． 解：（Ⅰ）设等差数列{a 的公差为 ，由题意得 n} d a a 12 3 d = 4 1 = = 3． 3 3 所以 an = a1 + (n 1)d = 3n (n =1,2, ) ． 设等比数列{b a }的公比为 q，由题意得 n n 3 b4 a4 20 12q = = = 8，解得 q = 2． b1 a1 4 3 所以b a = (b a )qn 1n n 1 1 = 2 n 1 ． 从而b n 1n = 3n + 2 (n =1,2, ) ． 8 分 （Ⅱ）由（ ... ...