课时目标 1.会用代数式表示数与图形的变化规律;会从不同角度分析和解决问题,体会同一量可以用不同代数式来表示,代数式可以更简洁地表达规律. 2.能发现特例中的变与不变,发现共性,寻找一般规律,解决问题,体会由特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法. 3.进一步培养学生的独立思考、合作交流及观察分析等能力. 学习重点 用代数式表示数与图形的变化规律. 学习难点 掌握用代数式表示数量之间的关系. 课时活动设计 复习引入 通过上节课的学习,我们应如何列出代数式,以解决较复杂的实际问题 有什么注意事项 在现实世界中,许多数量之间的关系都可以借助代数式表示出来.本节课我们就来研究怎样用代数式表示数量之间的关系. 设计意图:开门见山,引出本节课的内容,为本节课的学习奠定基础. 探究新知 探究1 用代数式表示数的变化规律 问题1:仔细观察,按你发现的规律填空: (1)1,2,3,4, 5 , 6 ,…, n (第n个数); (2)2,4,6,8, 10 , 12 ,…, 2n (第n个数); (3)2,4,8,16, 32 , 64 ,…, 2n (第n个数); (4)1,4,9,16, 25 , 36 ,…, n2 (第n个数); (5)1,3,6,10, 15 , 21 ,…, (第n个数). 师生活动:小组合作,互相交流讨论,派小组代表展示交流成果,并给出思考过程,教师及时给予点评指导,共同探究规律. 问题2:如图,这是一个由1~120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数,那么这9个数的和随方框位置的变化而变化. (1)如果设方框左上角的数为a,用含a的代数式表示这9个数的和; (2)如果设方框正中间的数为m,S表示这9个数的和,请写出用m表示S的关系式; (3)如果将方框由左向右平行移动一列,那么这9个数的和会有怎样的变化 如果方框由上向下平行移动一行,那么这9个数的和又有怎样的变化 分析:此题解决问题的关键是发现“数阵”中的数字是如何排列的,即左右相差1,上下相差6,然后用同一个字母分别表示不同的数,化简求和即得结果. 学生先独立思考,写出解题过程,再小组交流解题思路,准备演讲. 解:(1)设方框左上角的数为a,则其他8个数分别为a+1,a+2,a+6,a+7,a+8,a+12,a+13,a+14,这9个数的和为a+a+1+a+2+a+6+a+7+a+8+a+12+a+13+a+14=9a+63. (2)设方框正中间的数为m,则其他8个数分别为m-7,m-6,m-5,m-1,m+1,m+5,m+6,m+7,所以S为m-7+m-6+m-5+m-1+m+m+1+m+5+m+6+m+7=9m.即S=9m. (3)将方框由左向右平行移动一列,和增加9;方框由上向下平行移动一行,和增加54. 探究2 用代数式表示图形的变化规律 问题3:图1是由点组成的n行n列的方阵,设其总点数为P.图2是由每条边上n个点围成的空心方阵,设其总点数为Q. 图1 图2 (1)图1中方阵的总点数为多少 解:P=n2. (2)图2中方阵的总点数是多少 解:Q=n2-(n-2)2. 追问:你还有其他的计算方法吗 学生分组讨论,自主探究,然后教师多媒体演示图2中总点数不同的计算方法. 活动要求: (1)小组内讨论出不同的方法,并在图上做好标注,写出结论. (2)请小组代表展示讨论结果,并说明理由. (3)如有疑问,请小组内同学互助解答. 预设结果: 图1 如图1分组,得4n-4 图2 如图2分组,得4(n-1) 图3 如图3分组,得4(n-2)+4 图4 如图4分组,得2n+2(n-2) 设计意图:通过探究,让学生进一步感受代数式可以表示数量之间的关系,培养学生从不同角度分析问题、解决问题的能力. 典例精讲 例1 一列数,,,,…,按此规律排列,第n个数是 . 例2 如图,已知大正方形的边长为1,连接对边中点,将大正方形分为4个边长相等的小正方形,并将其中的3个小正方形涂上阴影,得到如图1所示的图形:连接图1中空白正方形的对边中点,又得到4个边长相等的小正方形,再将其中的3个小正方形涂上阴影,得到如图2所示的图形……按照这样的方式继续分割下去,设阴影部分的面积为S. (1)在图1中,空白正方形的边长为 ,S= ... ...
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