2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：不等式 一、选择题 1．已知随机变量,且,则的最小值为( ) A.5 B. C. D. 2．不等式成立的前提条件为( ) A. B. C. D. 3．下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是( ) A. B.（其中） C. D.（其中） 4．若实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. 5．当时，的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 6．已知，则有( ) A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1 7．已知正数a，b满足，则的最大值为( ) A.1 B.2 C.4 D. 8．已知，，且，则xy的最大值为( ) A.8 B.9 C.18 D.36 二、多项选择题 9．已知正实数a,b,满足,则( ) A. B. C. D. 10．已知,,且不等式恒成立,则m的值可以是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 11．已知，，当时，不等式恒成立，则m的值可以是( ) A.1 B. C.2 D. 三、填空题 12．设矩形的周长为12,把沿AC向折叠,AB折后交DC于点M,则的面积最大值为_____. 13．已知正实数a,b满足,则的最大值为_____. 14．若,且,则的最大值为_____. 四、解答题 15．已知，且，求证：. 16．（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值. 17．（1）若正数x，y满足，求的最小值； （2）求的最小值. 18．已知a，b，c均为正实数. （1）求证：； （2）若，证明：. 19．已知,当时,． (1)若,求的最大值并写出m,n的值; (2)若,求的最小值． 参考答案 1．答案：D 解析：根据正态分布的知识得,则, , 当且仅当,即时取等. 故选:D 2．答案：B 解析：基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又，所以，即.故选B. 3．答案：B 解析：对于A，当时，不等式不成立，A错误； 对于B，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号取不到，C错误； 对于D，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以等号取不到，D错误.故选B. 4．答案：A 解析：因为，所以，故A正确，B错误；，当且仅当，即时取等号，故C，D错误. 故选A. 5．答案：B 解析：，， ，当且仅当时等号成立.故选B. 6．答案：D 解析：，，，当且仅当，即时，等号成立，故有最小值1. 7．答案：B 解析：因为，，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以的最大值为2，故选B. 8．答案：B 解析：，当且仅当，时取等号，的最大值为9.故选B. 9．答案：ABD 解析：因为,且,, 当且仅当时取“”,故A正确; 因为,所以, 所以,当且仅当时,等号成立,故B正确; ,当且仅当时取“”, 由B选项可知,,所以, 当且仅当时,等号成立,故D正确; ,当时,有最小值, 即,故C错误. 故选：ABD. 10．答案：AB 解析：设,,则,,故. 因为,,所以,, 所以,当且仅当时,等号成立.因为恒成立,所以,所以. 11．答案：CD 解析：， 当且仅当时，等号成立. 因为不等式恒成立，所以， 整理得，又，所以，即. 所以实数m的取值范围是.故选CD. 12．答案： 解析：如下图,折叠后对应为,令且,则, 由图知:,,,则, 所以,而, 令且,则, 所以,则, 则, 当且仅当时等号成立, 所以的面积最大值为. 故答案为: 13．答案： 解析：因为正实数a,b满足,则, 当且仅当时,即时,等号成立,故ab的最大值为. 故答案为：. 14．答案： 解析：由,且,得,当且仅当时取等号, 所以当时,取得最大值. 故答案为：. 15．答案：证明见解析 解析：证明：，且，，且， ， 当且仅当，时取等号. 16．答案：（1）3 （2） 解析：（1）， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为3. （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为. 17．答案：（1）5 （2） 解析：（1）因为，，，所以， 因此 ， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以的最小值为5. （2）令，则，， 因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 18．答案：（1）证明见解析 （2）证 ... ...
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