2024-2025学年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）（含答案）

2024 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2024 年全国高中数学联合竞赛 一试（A 卷）参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 若实数m 1满足 log9 (log8 m) 2024，则 log3(log2 m)的值为 ． 答案：4049． 解： log3(log2 m) log3(3log8 m) 1 2log9 (log8 m) 1 2 2024 4049． 2. 设无穷等比数列{an}的公比 q满足0 q 1．若{an}的各项和等于{an}各 项的平方和，则 a2的取值范围是 ． 1 答案： , 0 (0, 2)． 4 {a } a解：因为数列 n 的各项和为 1 ，注意到{an}各项的平方依次构成首项1 q a2 a 2 为 1 、公比为 q 2 的等比数列，于是{a2n }的各项和为 1 2 ． 1 q a a2 由条件知 1 1 2 ，化简得 a1 1 q ． 1 q 1 q 2 q ( 1, 0) (0,1) a (1 q)q q 1 1 1 当 时， 2 , 0 (0, 2)． 2 4 4 3. 设实数 a, b满足：集合 A {x R x2 10x a 0}与 B {x R bx b3} 的交集为[4, 9]，则 a b 的值为 ． 答案：7 ． 解：由于 x2 10x a (x 5)2 25 a ，故 A是一个包含[4, 9]且以 x 5 为中点的闭区间，而 B 是至多有一个端点的区间，所以必有 A [1, 9]，故a 9． 进一步可知 B 只能为[4, )，故b 0且 4b b3 ，得b 2． 于是 a b 7． 4. 在三棱锥 P ABC 中，若 PA 底面 ABC ，且棱 AB, BP, BC, CP 的长分 别为1, 2, 3, 4，则该三棱锥的体积为 ． 3 答案： ． 4 解：由条件知PA AB， PA AC． 因此 PA BP2 AB2 3，进而 AC CP2 PA2 13 ． 1 AB2 BC 2 AC 2ABC cos B 1 9 13 1在 中， ，故 sin B 3 ． 2AB BC 2 1 3 2 2 S 1 3 3所以 ABC AB BC sin B ． 2 4 又该三棱锥的高为 PA，故其体积为V 1 S 3 ABC PA ． 3 4 5. 一个不均匀的骰子，掷出1, 2, 3, 4, 5, 6 点的概率依次成等差数列．独立地 先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 a, b．若事件“ a b 7”发生的概率 1 为 ，则事件“ a b ”发生的概率为 ． 7 4 答案： ． 21 解：设掷出1, 2, , 6点的概率分别为 p1, p2 , , p6 ．由于 p1, p2 , , p6 成等差 1 数列，且 p1 p2 p6 1，故 p1 p6 p2 p5 p3 p4 ． 3 事件“ a b 7”发生的概率为 P1 p1 p6 p2 p5 p6 p1 ． 事件“ a b ”发生的概率为 P p2 p22 1 2 p 2 6 ． 2 于是 P P 2 21 2 ( p1 p6 ) ( p2 p5 ) ( p3 p ) 2 3 1 14 ． 3 3 1 1 1 4 由于 P1 ，所以 P7 2 ． 3 7 21 6. 设 f (x)是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数 g(x) f (2x )在区 间[0, 5)上的零点个数为 25，则 g(x)在区间[1, 4)上的零点个数为 ． 答案：11． 解：记 2x t ，则当 x [0, 5) 时，t [1, 32)，且 t随 x增大而严格增大．因此， g(x)在[0, 5)上的零点个数等于 f (t)在[1, 32)上的零点个数． 注意到 f (t)有最小正周期5，设 f (t)在一个最小正周期上有m 个零点，则 f (t)在[2, 32)上有6m 个零点，又设 f (t)在[1, 2)上有 n个零点，则6m n 25， 且0 n m ，因此m 4, n 1． 从而 g(x) 在 [1, 4)上的零点个数等于 f (t)在 [2,16) [1,16) \ [1, 2) 上的零点个 数，即3m n 11． 7. 设 F1, F2 为椭圆 的焦点，在 上取一点 P （异于长轴端点），记O 为 PF1F2 的外心，若 PO F1F2 2PF1 PF2 ，则 的离心率的最小值为 ． 6 答案： ． 4 解：取F1F2 的中点M ，有MO F1F2 ，故MO F1F2 0． 记 PF1 u, PF2 v, F1F2 d ，则 2 2 1 PO F F v u1 2 PM F1F2 MO F1F2 (PF1 PF2 ) (PF2 PF1) ， 2 2 2P ... ...