5.1 任意角和弧度制 第2课时：弧度制 课件（共19张PPT）-2024-2025学年高中《数学》·必修第一册人教A版

(课件网) 主讲教师： 5.1 任意角和弧度制第2课时：弧度制 学 校： 册 别：必修1 学 科：高中数学（人教A版） 角度制 问题1：初中学过哪些度量角的单位？ 一、 的角是如何定义的呢？ 据说古巴比伦人观察到地球的公转周期大约是360天，于是创造性地把圆周分为360份．事实上，角度制带有一定的主观性，划分成其他份数也是可以的. 角度制 一、 问题2：你知道 等于多少吗？ 在角度制下，与作为三角函数的自变量与函数值不能相加． 自变量与函数值的度量单位不统一会引起很多麻烦． 弧度制 二、 圆心角 半径 r 弧长 l 越大 不变 越大 问题3：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 弧度制 二、 圆心角 半径 r 弧长 l 不变 越大 越大 问题3：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？ 弧度制 二、 问题4：弧长、半径、圆心角这三个量之间存在什么关系呢？如何解释弧长和半径都发生变化，而圆心角不变？ 弧度制 二、 可以发现，圆心角 α 所对的弧长与半径的比值，只与 α 的大小有关. 也就是说，这个比值随 α 的确定而唯一确定. 这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角. 弧度制 二、 规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表 示，读作弧度. 二、 弧度制 根据弧度制的概念，当 l = 2r 时，圆 弧所对的圆心角为2弧度的角. 2rad 2r 3rad 3r 在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所 对的圆心角为 α rad，那么 . 类似地，我们还可以作出3弧度的角. 问题5：正角、负角和零角的弧度数如何规定呢？ 二、 弧度制 角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系. 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念．欧拉是明确提出弧度制思想的数学家．1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位．这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大化简了三角公式及运算． 二、 弧度制 二、 弧度制 在角度制下，与作为三角函数的自变量与函数值不能相加．弧度制统一了三角函数自变量与因变量的单位，于是三角函数就可以通过运算法则形成其他初等函数，使得三角函数有了更广泛的应用性． 三、 弧度与角度互化 问题6：角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间如何换算呢？ 三、 弧度与角度互化 四、 学以致用 例1 (1)把化成弧度； (2)将3.14 换算成角度(用度数表示，精确到0.001). 解： (1)因为所以 (2)利用计算器可得： 四、 学以致用 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或者“”通常省略不写，而只写该角所对应的弧度数. 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 2 四、 学以致用 例2 利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1)(2)(3) 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. 证明：由公式可得. 下面证明(2)(3). 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，将转换为弧度，得，于是， . 将代入上式，即得 五、 课堂小结 1、弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、弧度与角度互化 3、扇形的弧长和面积公式 弧长公式： 面积公式： = 同学们，再见 ... ...