5.1 任意角和弧度制 第2课时：弧度制 教学设计（表格式）-2024-2025学年高中《数学》·必修第一册人教A版

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 5.1 任意角和弧度制第2课时：弧度制 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册A版 教学目标 经历弧度制的定义的过程，并感受到定义的合理性； 可以进行角度制与弧度制之间的任意转换，并会在弧度制下表示出弧长和扇形面积的公式； 了解在弧度制下角的集合与实数集之间一一对应的关系。 教学内容 教学重点：掌握弧度制的概念，可以在角度制与弧度制之间相互转化，能将弧度制应用到公式计算中； 教学难点：弧度制定义的由来。 教学过程 复习回顾，提出问题 上节课我们对角的概念进行了推广。在实际生活中，尤其是在天文、航海、测绘等方面有着非常广泛的应用，因而还需要对角进行定量表示以及数据运算。今天，我们就一起来探讨角的度量问题。 【问题1】初中学过哪些度量角的单位？1°的角是如何定义的呢？ 我们把周角的规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。这种度量方法采用的是60进制。据说古巴比伦人观察到地球的公转周期大约是360天，于是创设性地把圆周分为360份。事实上，角度制带有一定的主观性，划分成其他份数也是可以的。 【问题2】你知道等于多少吗？ 在角度制下，30°与sin30°作为三角函数的自变量与函数值不能相加。自变量与函数值的度量单位不统一会引起很多麻烦。 今天我们来学习另一种度量角的单位制———弧度制。 问题驱动，探索新知 【问题3】还可以用其他量度量角的大小吗？ 扇子打开的过程中，圆心角越来越大，弧长也越来越大，反过来，弧长越大，能不能说圆心角也越大呢？ 扇子打开后，外圈的弧长大于内圈的弧长，但所对的角确是相同的。仅依据弧长无法度量角的大小，还要结合半径。 【问题4】弧长、半径、圆心角这三个量之间存在什么关系呢？为什么弧长和半径都发生变化，而圆心角不变？ 如图射线OA绕端点O旋转到OB形成角。在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角。 设点P所形成的圆弧的长为l。由初中所学知识可知于是 可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关。也就是说，这个比值随的确定而唯一确定。这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。 归纳总结，建构概念 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做１弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度。 我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位圆O中，弧的长等于1，∠AOB就是1弧度的角。 【问题5】正角、负角和零角的弧度数如何规定呢？ 根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对应的圆心角为 rad，那么 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角。这样就可以得到弧度为任意大小的角。 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数 （等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角 （即弧度数等于这个实数的角）与它对应（如图所示）。 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位。这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大化简了三角公式及运算。 在角度制下，30°与sin30°作为三角函数的自变量与函数值不能相加。弧度制统一了三角函数自变量与应变量的单位，于是三角函数就可以通过运算法则形成其他初等函数，使得三角函数有了更广泛的应用性。 灵活转化，完善认知 【问题6】角度制、弧度制都是角的度量制，它们 ... ...