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课件网) 主讲教师： 5.1 任意角和弧度制第1课时：任意角 学 校： 册 别：必修1 学 科：高中数学（人教A版） 周期现象 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性. 什么数学模型可以刻画这种变化规律呢？ 一、 三角函数 周期现象 圆周运动是一种常见的周期性变化现象. 如图，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转. 如何刻画点P的位置变化呢？ O A P α 一、 角的定义 一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. O A α B O A B α O A B α O A B α O A B α O A B α 锐角 直角 钝角 平角 周角 O A B α 始边 终边 二、 角的定义 生活中有超出0°～360°角的例子吗？请你举例说明. “前空翻转体540度” “后空翻转体720度” 旋转度数和旋转方向 二、 角的定义 类比实数，角的范围可以怎样扩充 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角； 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角； 零角：一条射线没有做任何旋转. 逆时针 顺时针 任意角 二、 任意角的代数运算 两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？ 三、 任意角的代数运算 角的加法：设α，β是任意两个角. 我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. O α O β O α＋β ＋ = 两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？ 三、 三、 任意角的代数运算 相反角：类似于实数a的相反数是－a，我们引入任意角α的相反角的概念. 如图，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角. 三、 任意角的代数运算 角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β = α＋(－β). 这样，角的减法可以转化为角的加法. 四、 任意角的几何特征 我们通常在直角坐标系内讨论角. 使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限. 四、 任意角的几何特征 练习 作出下列各角，并指出它们是第几象限角. 390°，210°，30°，－330°，45° －330° 390° 210° 30° 45° 四、 任意角的几何特征 －330° 390° 30° 四、 任意角的几何特征 －330° 390° 30° 与30°角终边相同的角的一般形式为30°+ k 360°，k∈Z { β | β = 30°+ k 360°，k∈Z } 四、 任意角的几何特征 一般的，我们有： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S = { β | β = α + k 360°，k∈Z } 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律. 四、 任意角的几何特征 终边在y轴上的角的集合怎么表示？ S=S1∪S2 ={β|β=90°+k 360°, k∈Z}∪{β|β=270°+k 360°, k∈Z} ={β|β=90°+2k 180°, k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1) 180°, k∈Z} ={β|β=90°+n 180°, n∈Z}. 四、 任意角的几何特征 终边在坐标轴上的角的集合怎么表示？ S = { β | β = k 90°, k∈Z } 四、 任意角的几何特征 终边在第二象限上的角的集合怎么表示？ S = { β |90°+ k 360°< β <180°+ k 360°, k∈Z } 五、 学以致用 例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角. 解：－950°12′ = 129°48′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角. 五、 学以致用 例2 写出终边在直线y = x上的角的集合S. S中满足不等式－360° ≤ β < 720°的元素β有哪些？ 解：S={β|β=45°+k 180°, k∈Z}. 令k=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 则S中适合 ... ...
