教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季 课题 4.4数学归纳法 教科书 书 名：普通高中教科书数学选择性必修第二册 -出卷网-：人民教育-出卷网- 出版日期：2020年5月 教学目标 挖掘“骨牌原理”，类比“骨牌原理”寻找和构建递推关系。 理解数学归纳法的原理。 教学内容 教学重点： 理解数学归纳法的原理。 理解数学归纳法中n和n+1的关系。 教学难点： 1. 理解构建递推关系。 2. 让学生理解用数学归纳法证明数学命题的原理。 教学过程 探究 已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 分析：计算可得，再结合，由此猜想：，如何证明这个猜想呢？ 我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。你觉得这种理解方式怎么样？ 问题1 多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 问题2 你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？ 递推作用：当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下. 探究：已知数列满足，，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 证明：（1）当时，，猜想成立； （2）若时猜想成立，即，那么，当时，所以，当时，猜想也成立. 根据（1）和（2），可知对任意的正整数n,猜想都成立. 概念 1.数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基) 证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推) 以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真，结论：P(n)为真. (1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真； (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真. 只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明. 三、例题解析 例1.用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为的等差数列，那么， = ① 对任何都成立. 分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果时, ①式正确的，那么时①式也是正确的. 证明：（1）当时，左边，右边= , ①式成立. （2）假设当()时， ①式成立，即= 根据等差数列的定义，有 于是 即当时， ①式也成立 由（1）（2）可知， ①式对任何都成立 四、课堂练习 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证_____. 【答案】n＝3 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（ ） A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4 【答案】B 3．用数学归纳法证明“”，需验证时的式子为_____． 【答案】 4．用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ） A．增加了一项 B．增加了两项， C．增加了两项，，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 【答案】C 5．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： （1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立． （2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1， ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
