教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季 课题 数学归纳法 教科书 书 名：普通高中教科书数学选择性必修第二册 -出卷网-：人民教育-出卷网- 出版日期：2020年5月 教学目标 能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。 让学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范。 教学内容 教学重点： 进一步理解数学归纳法中n和n+1的关系。 2. 能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。 教学难点： 1. 用n=k是的假设推导n=k+1时的命题。 2. 让学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范。 教学过程 复习 1.数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基) 证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推) 以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真，结论：P(n)为真. (1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真； (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真. 只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明. 3.练习 某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（ ） A．当时，命题不成立 B．当时，命题可能成立 C．当时，命题不成立 D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立 【答案】A 二、数学归纳法应用 例1 用数学归纳法证明：. ② 分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n=k时，②式成立”为条件，得出“当n=k+1时，②式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件。 证明：（1）当n=1时，②式的左边=， 右边==1 所以②式成立。 （2）假设当n=k（）时，②式成立，即 在上式两边同时加上,有 === =即当n=k+1时，②式也成立 由（1）（2）可知，②式对任何都成立. 【反思提高】用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点: （1）弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况; （2）弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 跟踪训练 求证: 1-+…++…+(n∈N*). 证明:（1）当n=1时,左边=1-,右边=,所以等式成立. （2）假设n=k(k∈N*)时,1-+…++…+成立. 那么当n=k+1时, 1-+…++…+ =+…++[] =+…+,所以n=k+1时,等式也成立. 综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立. 例2 用数学归纳法证明：. 证明：(1)当时，左边，右边，不等式成立. (2)假设当，时，不等式成立，即有， 则当时，左边 ， 又 即， 即当时，不等式也成立. 综上可得，对于任意，成立. 跟踪练习：证明不等式，恒成立. 【反思提高】用数学归纳法证明恒等式、不等式时, 应关注以下三点: (1)弄清n取第一个值n0时不等式两端项的情况; (2)弄清从n=k到n=k+1不等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，(1+x)n 1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 分析：该问题中涉及两个字母x和n，x是正实数，n是大于1的正整数.一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系，并作出猜想 ... ...
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