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课件网) §4 二项分布与超几何分布 4.1 二项分布 第2课时 二项分布的综合应用 【学习目标】 1.掌握二项分布的均值与方差的公式. 2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题. 知识点 二项分布的均值和方差 （1）均值:若随机变量,则 ____. （2）方差:若随机变量,则 _____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,则正面向上的次数的方差等于 .( ) × 探究点一 二项分布的均值和方差 例1 已知一个箱子中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球. （1）一次取出2个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是红色的概率； 解：在已知它们颜色相同的情况下，该颜色是红色的概率 . （2）一次取出1个球，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，求取到红球的次 数 的均值与方差. 解：由题意可知，一次取出1个球，取得红球的概率为 ,取出后记录颜色并放回 箱中， 取球3次，则的可能取值为0，1，2，3，且 ， 所以， . 变式 小明同学从家到学校要经过6个红绿灯路口，假设他在各个路口遇到红 灯是相互独立的，并且概率都是，则小明同学在上学途中遇到的红灯次数 的 均值为___，方差为__. 2 [解析] 由题意可得，,，， . ［素养小结］ （1）求二项分布的均值和方差的步骤: ①一是判断随机变量是否服从二项分布; ②二是代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差. （2）若服从参数为的两点分布,则;若服从参数为, 的二项 分布,即,则 . 探究点二 已知二项分布的均值和方差求参 例2 设随机变量，且，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 因为随机变量，且，所以 ， 所以 ,故选A. 变式（1） 设随机变量，如果，，那么和 分别 为( ) A A.18和 B.16和 C.20和 D.15和 [解析] 由解得 故选A. （2）随机变量,满足，且，若 ，则 ___． [解析] 因为，所以 ， 又，所以 ， 故 ， 所以 ． ［素养小结］ 一般求二项分布中与 两个参数时，会结合二项分布的均值与方差公式，通过 方程的思想方法求解或 . 探究点三 二项分布的实际应用 例3 已知一批玉米种子的发芽率是0.8. （1）问：每穴至少种几粒种子，才能保证每穴至少有一粒种子发芽的概率大于 ？ 解：设每穴种 粒种子， 则每穴至少有一粒种子发芽的概率为 ， 可得 ， 故 的最小值为3， 即每穴至少种3粒种子才能使每穴至少有一粒种子发芽的概率大于 ． （2）若每穴种3粒种子，求恰好2粒种子发芽的概率.（参考数据： ） 解：若每穴种3粒种子，则恰好2粒种子发芽的概率为 ． 变式 [2024·吉林汪清高二期末] 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工 艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次 烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制， 甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为，， ，经过第二次烧制，甲、 乙、丙三件产品合格的概率分别为，， ． （1）求经过第一次烧制恰有一件产品合格的概率； 解：经过第一次烧制恰有一件产品合格的概率 ． （2）经过先后两次烧制，记合格产品的件数为 ，求随机变量 的分布列及数 学期望． 解：经过先后两次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为 ，， ． 所以，则随机变量 的所有可能取值为0,1,2,3, 且 可得 ， ， ， . 0 1 2 3 随机变量 的数学期望 ． 所以随机变量 的分布列为 ［素养小结］ 利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型,也就 是看它是否是重伯努利试验,随机变量是否为在这 重伯努利试验中某事件发生 的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布. 拓展 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随 机现象的模型，在一块木板上钉着若干 ... ...
