第2课时 椭圆的几何性质的综合问题 【学习目标】 1.了解椭圆系方程的设法. 2.结合椭圆的定义,会用代数法、几何法求椭圆中的最值问题. 【课前预习】 ◆ 知识点 两个椭圆的关系问题 1.共焦点的椭圆系方程 ①与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆系方程为+=1(a>b>0,λ>-b2); ②与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆系方程为+=1(a>b>0,λ>-b2). 2.同离心率的椭圆系方程 ①与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆系方程为+=λ(a>b>0,λ>0)或+=λ(a>b>0,λ>0); ②与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆系方程为+=λ(a>b>0,λ>0)或+=λ(a>b>0,λ>0). 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率都与焦点所在的坐标轴有关. ( ) (2)椭圆方程+=1(a>b>0)中的参数不能刻画椭圆的扁平程度,而能刻画椭圆的扁平程度. ( ) (3)离心率相同的椭圆是同一个椭圆. ( ) 【课中探究】 ◆ 探究点一 两个椭圆的关系问题 例1 过点(-3,2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程是 ( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 变式 椭圆+=1与椭圆+=1(k<9且k≠0)的 ( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 [素养小结] 在求两个椭圆的关系问题时,常有两种思路:(1)由椭圆的几何性质来进行判断求解;(2)由椭圆系方程来判断求解. ◆ 探究点二 椭圆中的最值问题 例2 (1)已知焦点在x轴上的椭圆+=1,且a+c=4,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为( ) A.8 B.10 C.12 D.16 (2)已知椭圆的标准方程为+=1,则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离|OP|的取值范围为 ( ) A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20] 变式 设F1是椭圆+=1的左焦点,P为椭圆上任意一点,点Q的坐标为(-1,4),则|PQ|+|PF1|的最大值为 . [素养小结] 最值问题常涉及一些不等式.例如:在椭圆+=1(a>b>0)中,-a≤x≤a,-b≤y≤b,0
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