2.3 直线与圆的位置关系 【学习目标】 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 【课前预习】 ◆ 知识点 直线与圆的位置关系 一般地,已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆E:(x-a)2+(y-b)2=r2,则直线l与圆E的位置关系如下: 位置关系 相交 相切 相离 图形关系 公共点个数 几 何 法 计算圆心到直线的距离:d= d=r 代 数 法 由 消元得到一元二次方程,计算方程的判别式Δ Δ<0 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)过圆外一点可作两条该圆的切线. ( ) (2)已知一条直线与圆相交,当这条直线被圆截得的弦最长时,这条直线过圆心. ( ) (3)过半径外端(圆上的端点)的直线与圆相切. ( ) (4)若C为圆O内一点,则过点C的直线与圆O相交. ( ) 【课中探究】 ◆ 探究点一 直线与圆的位置关系的判定 例1 已知直线l:mx-y-m-1=0,圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,分别求实数m的值或范围,使直线l与圆C有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点. 变式 (多选题)[2024·浙江金华高二期中] 已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2(r>0),点A(a,b),则下列说法正确的是 ( ) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 [素养小结] 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 拓展 一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为2 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西方向4 km处,某港口位于小岛中心正北方向3 km处,如果轮船沿直线返航,那么它是否有触礁危险 请说明理由. ◆ 探究点二 直线与圆相切问题 例2 (1)圆x2+y2-2x-4y=0在点P(3,3)处的切线方程为 ( ) A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0 C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0 (2)经过P(2,3)向圆x2+y2=4作切线,则切线方程为 ( ) A.5x-12y+26=0 B.13x-12y+10=0 C.5x-12y+26=0或x=2 D.13x-12y+10=0或x=2 变式 已知圆O:x2+y2=1,过直线l:3x+4y-10=0上的动点P作圆O的一条切线,切点为A,则|PA|的最小值为 ( ) A.1 B. C. D.2 [素养小结] 圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k(斜率存在且不为零),再由垂直关系得切线的斜率为-,由点斜式可得切线方程.若斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y0. (2)点在圆外时 ①几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0)(斜率存在),由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,从而得到切线方程. ②代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0)(斜率存在),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切线方程. 提醒:不要遗漏切线的斜率不存在的情况. ◆ 探究点三 直线与圆相交问题 例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长|AB|. 变式 (1)[2024·哈尔滨高二期末] 经过第一、二、三象限的直线l:ax-by+4=0与圆C:x2+y2+2x-2y-7=0交于A,B两点,若|AB|=6,则ab的最大值是 ( ) A.8 B.4 C.2 D.1 (2)过点(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程. [素养小结] 求弦长常用的三种方法 (1)利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题. (2)利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长. (3)利用弦长公式,设 ... ...
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