第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示 【学习目标】 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题. ◆ 知识点 空间向量的长度、夹角 若向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 向量长度 |a|== 向量夹角公式 cos
== (a≠0,b≠0) 空间两点间的距离公式:设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则= ,P1P2=||= . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)||=|+|=||+||. ( ) (2)a·b>0 为锐角. ( ) (3)与非零向量a同方向的单位向量为. ( ) ◆ 探究点一 空间向量的长度 例1 (1)已知a=(1,2,-3),b=(1,-4,0),则|a-b|= . (2)[2024·天津高二期中] 向量a=(2,-1,2),b=(-4,2,x),a⊥b,则|2a+b|= ( ) A.9 B.3 C.1 D.3 变式 已知x∈R,若a=(1+x,1,x),b=(0,2x,x),那么|a-b|的最小值为 . [素养小结] 求空间向量的长度要先找到空间向量的坐标,再根据公式求值,注意与空间两点间的距离公式的联系. ◆ 探究点二 空间向量的夹角 例2 (1)已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则与的夹角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° (2)已知{i,j,k}是空间向量的一组标准正交基,且=-i+j-k,=2i+j+k,则与夹角的余弦值为 ( ) A. B.- C. D.- 变式 (1)已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为 ( ) A. B. C. D. (2)已知向量a=(2,-1,1),b=(1,2,t),若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为 . [素养小结] 1.利用空间向量的坐标运算求夹角的一般步骤: (1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标. (3)论证、计算:结合公式进行论证、计算. (4)转化:转化为夹角问题. 2.空间中两向量的夹角的取值范围为[0,π],空间中两直线的夹角的取值范围为. ◆ 探究点三 空间向量长度与夹角的综合问题 例3 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分别为AB,SC,SD的中点,AB=a,SD=b. (1)求||; (2)求cos<,>. 变式 若A(6,-1,4),B(1,-2,1),C(4,2,3),则△ABC的形状是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”) [素养小结] 1.空间中两直线的夹角α的取值范围为,而空间中两向量的夹角β的取值范围为[0,π],故利用空间向量求两直线的夹角时应注意cos α=|cos β|. 2.在利用夹角公式判断锐角或钝角时,一定要注意特殊角:0°和180°. 3.在利用空间向量解决立体几何问题时,需要建立恰当的坐标系,将几何问题转化为坐标的运算问题. 拓展 [2024·杭州二中高二期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是 ( ) A. B. C.[1,] D.[,] 第2课时 空间向量长度与夹角的坐标表示 【课前预习】 知识点 (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 诊断分析 (1)× (2)× (3)√ 【课中探究】 例1 (1)3 (2)A [解析] (1)由题意,a-b=(0,6,-3),∴|a-b|===3. (2)因为a⊥b,所以a·b=-8-2+2x=0,解得x=5,则2a+b=2(2,-1,2)+(-4,2,5)=(0,0,9),所以|2a+b|=9.故选A. 变式 [解析] 因为a=(1+x,1,x),b=(0,2x,x),所以a-b=(1+x,1-2x,0),所以|a-b|===,所以当x=时,|a-b|取得最小值,最小值为. 例2 (1)C (2)D [解析] (1)由题意得=(-1,1,0),=(0,3,3),故cos<,>==,所以与的夹角为60°. (2)因为{i,j,k}是空间向量的一组标准正交基,所以=-i+j-k=(-1,1,-1),=2i+j+k=(2,1,1),设与的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ===-.故选D. 变式 (1)C (2)(-∞,0) [解析] (1)由题意可得a+b=(-1,-2,-3)=-a,且|a|=.又(a+b)·c=7,所以-a·c=7,即-|a|·|c|cos=-14c ... ... 
