第五章 计数原理 §1 基本计数原理 1.1 分类加法计数原理 1.2 分步乘法计数原理 【学习目标】 1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.能够结合具体实例,进一步识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并能运用这些原理解决简单的实际问题. ◆ 知识点一 分类加法计数原理 完成一件事,可以有 办法,在第1类办法中有 种方法,在第2类办法中有 种方法……在第n类办法中有 种方法,那么,完成这件事共有N= 种方法. (也称“加法原理”) 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同. ( ) (2)在分类加法计数原理中,每类办法中的方法都能完成这件事. ( ) ◆ 知识点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要经过 步骤,缺一不可,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法……做第n步有 种不同的方法,那么,完成这件事共有N= 种方法. (也称“乘法原理”) 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法可以是各不相同的. ( ) (2)在分步乘法计数原理中,事情如果是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. ( ) ◆ 探究点一 分类加法计数原理 例1 从甲地出发前往乙地,一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择.某人某天要从甲地出发去乙地旅游,则所有不同走法的种数是 ( ) A.16 B.15 C.12 D.8 变式 某班有男生22人,女生18人,从中选一名学生为数学课代表,则不同的选法共有 ( ) A.40种 B.396种 C.22种 D.18种 [素养小结] 利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [提醒] 确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事. 拓展 如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落导致电路不通的情况有 ( ) A.9种 B.11种 C.13种 D.15种 ◆ 探究点二 分步乘法计数原理 例2 在端午小长假期间,某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位,每天只需1人值班,则不同的排班方法有 ( ) A.12种 B.24种 C.64种 D.81种 变式 为促进中学生综合素质全面发展,某校开设了5个社团,甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团,则不同的报名方式共有 ( ) A.60种 B.120种 C.125种 D.243种 [素养小结] 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 [提醒] 分步时要注意不能遗漏步骤,否则就不能完成这件事. ◆ 探究点三 分步、分类计数原理综合应用 例3 现从高二年级4个班的学生中共抽取34人,其中甲、乙、丙、丁班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外活动小组. (1)选其中1人为负责人,有多少种不同的选法 (2)每班选1名组长,有多少种不同的选法 (3)推选2人发言,这2人需来自不同的班级,有多少种不同的选法 变式 [2024·江西上饶玉山二中高二月考] 某学校派出五名教师去三所乡村学校支教,其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相关要求,每位教师只能去一所学校参与支教,并且每所学校至少有一名教师参与支教,同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教,则不同的安排方案有 ( ) A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 [素养小结] 利用两个计数原理解题时的三个注意点 (1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才能完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从而归纳出解题方法. (2)分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图,使问题的分析更直观、清楚,以便于探索规律. (3)综合问题在求解过程中一般先分 ... ...
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