专题2.3 用配方法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）（北师大版）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3 用配方法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】用配方法求解一元二次方程 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)理论依据：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； 　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 【特别提示】 （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【知识点二】配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 【特别提示】“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直接平方法解一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用直接开方的方法进行求解即可； （2）利用直接开方的方法进行求解即可． （1）解：， ， ， ，； （2）， ， 两边直接开平方，得， 解得，． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式2】（22-23八年级下·上海青浦·期中）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解．利用直接开平方法可得方程的解． 解：原方程两边直接开平方可得： ， 原方程两边直接开平方可得： 或者， ∴， 故答案为：． 【题型2】用配方法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）（2）移项后再配方即可求解；（3）直接配方即可求解；（4）移项后再配方即可求解； 解：（1）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （2）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （3）， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，； （4）， 移项，得：， 配方，得：， 合并，得：， 直接开平方，得：， 解得：，． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右 ... ...