专题4.1 成比例线段（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】两条线段的比 如果选用同一长度单位的两条线段a、b长分别是m和n，就说这两条线段的比是a:b=m:na或写成和数的比一样，两条线段的比 a:b中a叫比的前项，b叫比的后项. 【要点说明】 若a:b=k，则说明a是b的k倍，由于线段a、b的长度都是正数，所以k是正数； 求经时两条线段的长度单位要一致； 经例尺就是图上长度与实际长度的比. 【知识点二】比例线段 比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 即：已知四条线段a、b、c、d，如果那么a、b、c、d叫做组成比例线段的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项. 2.比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a：b=b：c或那么线段b叫做线段a、c的比例中项. 【要点说明】 已知四条线段a、b、c、d成比例，要注意位置不能随意颠倒. 【知识点三】比例的基本性质 1.比例的基本性质：如果；如果ad=bc，那么 2.推论 （1）, （2）; （3）合比性质：; （4）等比性质：; 【知识点四】黄金分割 黄金分割：如图，将一条线段AB分割成长短两条线段AP、BP(AP>BP),若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比,即,（此时线段AP是线段PB，AB的比例中项)，经计算，这一比值等于则称这种分割叫黄金分割，点P 点P叫做线段AB的黄金分割点，称为黄金分割比，特别注意一条线段的黄金分割点有两个. 【要点说明】 1黄金三角形：在等腰三角形中，底和腰（或腰和底）之比为的等腰三角形称为黄金三角形； 2.黄金矩形：在矩形中，宽和长之比为 的矩形称为黄金矩形。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】线段之比 【例1】（21-22九年级上·全国·课后作业）在中，；在中，，求与之比，与之比． 【答案】，， 【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可． 解：如图，在Rt△ABC中， 根据勾股定理知，AC10cm， 则， 【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（ ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）点在线段上，若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 【题型2】成比例线段 【例2】（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 【答案】成比例，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答． 解：成比例．理由如下： ， ， ， ， ∴， ∴， ∴线段、、、成比例． 【变式1】（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可 ... ...
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