专题4.24 利用相似三角形测高（知识梳理与方法分类讲解）（北师大版）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.24 利用相似三角形测高（知识梳理与方法分类讲解） 第一部分【方法归纳】 【方法一】利用阳光下的影子测量高度 基本原理：利用太阳光是平行光线以及与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解。具体步骤：在阳光下，测量旗杆的影子长度和一根已知高度的木棍的影子长度，通过比例关系计算出旗杆的高度。 操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．提示：把太阳的光线看成是平行的． ∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB， ∴∠AEB＝∠CBD， ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB， ∴△ABE∽△CBD ∴ 即 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 【方法二】利用标杆测量高度 基本原理：从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据与地面垂直构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列式计算。具体步骤：在旗杆旁边竖立一根标杆，从人眼的位置向旗杆作垂线，通过测量标杆的高度和它与旗杆之间的距离，利用相似三角形的原理计算出旗杆的高度。 操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度． 如图3，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M． 人、标杆和旗杆都垂直于地面， ∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90° 人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF∥CN， ∠1＝∠2， ∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC， ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出， 能求出CN， ∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°， 四边形ABND为矩形． DN＝AB， 能求出旗杆CD的长度． 【方法三】利用镜子的反射测量高度 基本原理：根据入射角等于反射角，与地面垂直构造相似三角形，根据对应边成比例列出算式。具体步骤：在距离旗杆的地面上放一个镜子，人站在镜子的前面能从镜子里看到旗杆的顶点，通过测量镜子到旗杆的距离和镜子到地面的距离，利用相似三角形的原理计算出旗杆的高度。 操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角 ∵入射角＝反射角 ∴∠AEB＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面 ∴∠B＝∠D＝90° ∴因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用阳光下的影子测量高度 【例1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某校操场上有一根旗杆，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，已知视线与地面的交点为F，视线与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，、、均与垂直，测得为3米，为5米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为24米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 解：由题意，得：，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：，且是方程的解， ∵， ∴， ∴，且是方程的解， 答：旗杆的高度为24米． 【变式1】（2024·浙江杭州·二模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是，．已知B，C，E，F在同一直线上，，，，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证，再根据“相似三角形对应 ... ...