§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解、掌握函数奇偶性的概念与图象特征. 2.能够根据定义和图象判断简单函数的奇偶性. 3.能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题. 4.通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用,体会数形结合、化归与转化等基本的数学思想方法,提高数学运算和直观想象能力. ◆ 知识点 函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 (1)奇函数定义:一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且 ,那么称函数f(x)为奇函数. (2)偶函数定义:一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且 ,那么称函数f(x)为偶函数. 2.奇、偶函数的图象特征 (1)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称. (2)f(x)为偶函数 f(x)的图象关于y轴对称. (3)在x=0处有定义的奇函数f(x)的图象必过原点,即f(0)=0. 【诊断分析】 若对定义域内的任意x都有f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)≠0),则函数f(x)是不是奇函数 ◆ 探究点一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)m(x)=x2+; (2)f(x)=; (3)g(x)= 变式 (1)若f(x)是定义在R上的函数,则下列函数中一定是偶函数的是 ( ) A.y=|f(x)| B.y=f(|x|) C.y= D.y=f(-x)-f(x) (2)判断下列函数的奇偶性: ①m(x)=x|x|;②h(x)=(x>0); ③g(x)=;④f(x)=+. [素养小结] 函数奇偶性的判断方法有多种,但不管采用哪种方法,都应先求出函数的定义域,观察其定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点对称,再判断f(x)与f(-x)的关系,否则既不是奇函数也不是偶函数. 拓展 (多选题)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x,y∈R,都有f(xy)=x2f(y)+y2f(x)成立,则 ( ) A.f(0)=0 B.f(-1)=0 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数 ◆ 探究点二 奇、偶函数图象的应用 例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1)请补出函数f(x)在y轴右侧的图象; (2)根据图象写出函数f(x)的单调递增区间; (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值范围. 变式 若将例2中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题 [素养小结] 利用奇偶性作函数图象,可先确定函数的奇偶性,作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上的图象,再根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(-∞,0](或[0,+∞))上的图象. 拓展 已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是 . ◆ 探究点三 利用函数奇偶性求值 [提问] 若函数f(x)为奇函数,且f(2)=1,则f(-2)= . 例3 (1)设函数f(x)=为奇函数,则实数a= ( ) A.-1 B.1 C.0 D.-2 (2)已知函数f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)= . 变式 (1)已知f(x)是定义在[m-5,3-2m]上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2x,则f(m)的值为 ( ) A.8 B.0 C.-8 D.4 (2)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= . (3)已知函数f(x)=ax3+bx-+2,若f(2023)=6,则f(-2023)= . [素养小结] (1)已知函数的奇偶性求函数值:利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值时常常利用待定系数法,利用f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性求得参数的值. 拓展 已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 【课前预习】 知识点 1.(1)f(-x)=-f(x) (2)f(-x)=f(x) 诊断分析 解:根据奇函数的定义知,满足这两种关系的函数都是奇函数. 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)函数m(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故该函数不具有奇偶性. ... ...
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