§2 指数幂的运算性质 【学习目标】 1.掌握实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算,能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化,能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算. 2.通过实数指数幂的综合运算,提高数学运算的核心素养. ◆ 知识点 实数指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂满足下面的运算性质: (1)aα·aβ= ; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 【诊断分析】 1.有理数指数幂的运算性质是否适用于底数a=0或a<0的情况 2.an·bn=(a·b)n,a,b,n∈R,这个等式对吗 ◆ 探究点一 指数幂的综合运算 例1 化简与计算(式中的字母均为正实数): (1); (2)··(2)÷; (3). 变式 (1)计算:+22×-×. (2)已知a=,b=,求的值. [素养小结] 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧: (1)有括号,则先化简或计算括号里的式子; (2)无括号,则先进行指数运算; (3)负指数幂化为正指数幂的倒数; (4)底数是小数,先要化为分数,底数是带分数,先要化为假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,利用指数运算性质求解. ◆ 探究点二 条件求值 例2 已知+=5(a>0),求的值. 变式 若将例2中的条件+=5改为-=5,则结论如何 [素养小结] 对于“条件求值”问题,要根据式子的特点,弄清已知条件与待求式的联系,然后用整体代换的思想求解.要注意恰当地变形,如分解因式等,还要注意开方时正负值的选取. 拓展 [2024·皖豫名校联盟高一期中] 已知10a=2,102b=5,求的值. §2 指数幂的运算性质 【课前预习】 知识点 (1)aα+β 诊断分析 1.解:因为0的负数指数幂无意义,所以a≠0.若a<0,如取a=-2,则[(-2)3没有意义. 故有理数指数幂的运算性质不适用于底数a=0或a<0的情况. 2.解:不对,例如(-2×(-2=[(-2)×(-2)不成立,其中(-2无意义. 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)=-=4a. (2)··(2)÷=10=10a. (3)====()5=()5=. 变式 解:(1)原式=1+4×-×=1+6-1=6. (2)原式====b,因为a=,b=,所以原式=(×3-1=3. 探究点二 例2 解:因为-=()3-()3, 所以== a+a-1+1=(+)2-2+1=52-1=24. 变式 解:因为-=()3-()3, 所以== a+a-1+1=(-)2+2+1=52+3=28. 拓展 解:因为10a=2,102b=5,所以=(10a÷102b==.
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