8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 【学习目标】 1.理解异面直线所成的角. 2.掌握异面直线所成的角、两条直线垂直的判断与性质. ◆ 知识点一 异面直线所成的角 1.两条直线所成的角 平面内两条直线相交形成4个角,其中 的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线 .当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为 . 2.异面直线所成的角 已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角),如图所示. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在异面直线所成的角的定义中,a'与b'所成的角的大小与O的选择有关. ( ) (2)在空间中,存在两条异面直线所成的角为120°. ( ) 2.设异面直线a,b所成的角与异面直线c,b所成的角相等,试判断a,c的位置关系. ◆ 知识点二 异面直线互相垂直 1.如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条异面直线互相垂直. 2.直线a与直线b垂直,记作 . 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BB1与C1D1相互垂直. ( ) (2)若a,b为两条异面直线,且c⊥a,d⊥b,则c,d不可能是平行直线. ( ) 2.讨论垂直于同一条直线的两条直线的位置关系. ◆ 探究点一 求异面直线所成的角 例1 如图,在正方体ABCD-EFGH中,O为AH与DE的交点,求: (1)BE与CG所成的角; (2)FO与BD所成的角. 变式 (1)[2024·菏泽一中高一月考] 如图,在正三棱锥P-ABC中,M,N分别为PA,PB的中点,则异面直线MN与AC所成的角为 ( ) A. B. C. D. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则异面直线B1C1与DE所成的角为 . [素养小结] 求两条异面直线所成的角的一般步骤: (1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线所成的角(或其补角). (2)计算角:一般在三角形中求角的大小. (3)确定角:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角. ◆ 探究点二 证明空间中两条直线垂直 例2 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,证明:AC⊥BD. 变式 如图所示,在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BD1=4,若∠BAD=60°,求证:B1C⊥AD1. [素养小结] 要证明两异面直线垂直,应先构造两异面直线所成的角,若能证明这个角是直角,即得到两异面直线垂直. 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 【课前预习】 知识点一 1.不大于90° 倾斜的程度 0° 2.直线a'与b'所成的角 诊断分析 1.(1)× (2)× [解析] (1)a'与b'所成的角的大小只由a,b的相互位置来确定,与O的选择无关. (2)两条异面直线所成的角α的取值范围是(0°,90°]. 2.解:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,CD所成的角相等,此时BC,CD为相交直线;异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,B1C1所成的角相等,此时BC,B1C1为平行直线;异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,C1D1所成的角相等,此时BC,C1D1为异面直线.故a,c的位置关系为相交、平行或异面. 知识点二 1.直角 2.a⊥b 诊断分析 1.(1)√ (2)× [解析] (1)因为BB1∥CC1,所以∠CC1D1为异面直线BB1与C1D1所成的角,因为∠CC1D1=90°,所以异面直线BB1与C1D1相互垂直. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB(a)与DD1(b)为异面直线,BC(c)⊥AB(a),A1D1(d)⊥DD1(b),此时BC(c)∥A1D1(d). 2.解:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥AA1,B1C1⊥AA1,此时BC∥B1C1 ... ...
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