7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 【学习目标】 1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则,并能熟练地进行运算. 2.了解复数加、减运算的几何意义,并能利用几何意义解决简单数学问题. ◆ 知识点一 复数的加、减法运算 1.复数的加、减法运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1+z2= , z1-z2= . 2.复数加法的运算律 (1)交换律:z1+z2= . (2)结合律:(z1+z2)+z3= . 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数与复数相加、减后结果为复数. ( ) (2)复数加法的运算律类同于实数的加法运算律.( ) (3)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. ( ) 2.复数(1-i)-(2+i)+3i= . ◆ 知识点二 复数加、减法的几何意义 1.如图,设在复平面内复数z1,z2对应的向量分别为,,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形,则与z1+z2对应的向量是 ,与z1-z2对应的向量是 . 2.复平面内两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离为 . 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)复数加、减法的几何意义类同于向量加、减法运算的几何意义. ( ) (2)|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复数z在复平面内对应的点Z与复数z0在复平面内对应的点Z0之间的距离. ( ) (3)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则复平面内这两个复数对应的点之间的距离为8. ( ) ◆ 探究点一 复数的加、减运算 [探索] 两个实数可随意相加,那么两个或两个以上的复数相加,具体怎么运算呢 例1 计算:(1)(-2+3i)+(5-i)= ; (2)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)= ; (3)若a,b∈R,则(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i= . 变式 (1)设x,y∈R,若x+(y-1)i=3+xi,其中i是虚数单位,则x+y= . (2)已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b= . (3)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2= . [素养小结] 复数的加、减法运算技巧 (1)对于复数的加减运算,只要把实部与实部、虚部与虚部分别相加减即可.类比实数的加减运算,若有括号,则先计算括号内的;若没有括号,则可从左到右依次进行计算. (2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. ◆ 探究点二 复数加、减法的几何意义 例2 如图所示,在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求: (1)向量表示的复数; (2)向量表示的复数及A,C两点之间的距离; (3)向量表示的复数及O,B两点之间的距离. 变式 (1)若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),z1+z2在复平面内对应的点在实轴上,则a= ( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 (2)在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i. ①求,,对应的复数; ②判断△ABC的形状. [素养小结] 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应. (2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变. ◆ 探究点三 |z-z0|(z,z0∈C)的几何意义的应用 例3 (1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ( ) A.1 B. C.2 D. (2)设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|. 变式 [2024·菏泽一中高一月考] 设z是复数且|z-1+2i|=1,求|z|的最小值. [素养小结] |z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离,利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何问题求解. 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 【课前预习】 知识点一 1.(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i 2.(1)z2+z1 (2)z1+(z2 ... ...
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