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课件网) 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 【学习目标】 1.联系空间向量与立体几何，知道直线的方向向量和平面的法向量. 2.结合空间几何体，能求出有关直线的方向向量和平面的法向量. 3.在空间点的向量表示的基础上，能借助直线的方向向量和平面的法向量 来刻画直线和平面. 知识点 空间元素的向量表示 1.空间中点的向量表示 如图，在空间中,我们取一_____作为基点,那么空间中任意一点 就可以用向量 来表示.我们把向量称为点 的_____. 定点 位置向量 2.空间中直线的向量表示 确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用 是直线 的方向向量,在 直线上取， 是 直线 上的任意一点 _____ 空间任意直线由直 线上一点及直线的 方向向量唯一确定 确定直线的条件 图形表示 向量表示 作用 是直线 的方向向量,在 直线上取， 是 直线上的任意一点， 是空间中的任意一点 _____ 空间任意直线由直 线上一点及直线的 方向向量唯一确定 续表 3.空间中平面的向量表示 确定平面的条件 图形表示 向量表示 两条直线相交于点 ，它们的 方向向量分别为,,为平面 内任意一点 P是平面内的任意一点， 是空间中的任意一点 确定平面的条件 图形表示 向量表示 给定点和平面 的法向量 ， 以及平面 内一点 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线 的一个方向向量. ( ) × [解析] 当时，不是直线 的方向向量，故错误. （2）若，在直线上，则直线的一个方向向量为 . ( ) √ [解析] ， 与共线的非零向量都可以作为直线 的方向向量， 故正确. （3）若向量, 为同一平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一 定平行.( ) × [解析] 以这两个向量为方向向量的直线也可能重合，故错误. 2.平面的法向量有几个 它们的关系是怎样的 解：平面的法向量有无数个,它们是平行向量. 探究点一 确定空间中点的位置 例1 已知点，，在直线上取， 两点，位置如图所示，求满足下列条件的点和点 的 坐标. （1） ； 解：由已知，得，即，则 . 设点的坐标为，则,即 , , ， 所以点的坐标为 . （2） . 解：因为，所以 ， 所以，则 ， 设点的坐标为,则,所以点 的 坐标为 . 变式 已知点,,为线段上一点且,则点 的坐标为 ( ) C A. B. C. D. [解析] 设,为线段上一点且, ,即 , 因此点C的坐标为 .故选C. ［素养小结］ 求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，然后列 出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标. 探究点二 求空间直线的方向向量 例2 如图所示，在平行六面体 中， 设，，，，， 分别是 ，，的中点，以{，， }为空间的一 个基底. （1）求直线 的一个方向向量； 解： ， 直线的一个方向向量为 . （2）求直线 的一个方向向量； 解： ， 直线的一个方向向量为 . （3）求直线 的一个方向向量. 解： , 直线的一个方向向量为 . 变式（1） 若，在直线上，则直线 的一个方向向量为 ( ) C A. B. C. D. [解析] 依题意，直线的一个方向向量为 ，分 析选项可知只有C符合题意，A,B,D均不符合题意.故选C. （2）已知直线的一个方向向量，且直线过点 和点 ，则 ( ) D A.0 B.1 C. D.3 [解析] 连接，由题意得，因为直线 过点A和点B，且 直线的一个方向向量，所以，所以存在实数 ，使得 ，即，即解得 所以 .故选D. ［素养小结］ 求直线的方向向量的关键是找到直线上的两个点，用所给的基向量表示以这两 个点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. 探究点三 求平面的法向量 例3 如图，在长方体中， ， ， ，建立适当的空间直角坐标系，求下列 平面的 ... ...
