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课件网) 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 【学习目标】 1.在空间向量基本定理的基础上，知道空间直角坐标系的概念. 2.结合简单几何体，能写出有关点和向量的坐标. 知识点一 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 定义：如图，在空间选定一点 和一个单位正交基底｛ ，,｝.以点为原点，分别以,, 的方向为正方向、以 它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、 轴， 它们都叫作_____.这时我们就建立了一个空间直角坐 坐标轴 原点 坐标向量 坐标平面 标系，叫作_____，,, 都叫作_____，通过每两条坐标轴的平面叫 作_____，分别称为平面，平面， 平面. 2.空间直角坐标系的画法 （1）空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系时，一般使 _____， ____. （或） （2）右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向， 食指指向 轴的正方向，如果中指指向_____，则称这个坐标系为右手 直角坐标系. 轴的正方向 知识点二 空间向量的坐标 1.空间中点的坐标 如图,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组 , 使_____.在单位正交基底{,,}下与向量 对应的有序实数组,叫作点 在空间直角坐标系中 的坐标,记作_____,其中叫作点的横坐标, 叫作点 的纵坐标,叫作点 的竖坐标. 2.空间中向量的坐标 如图,在空间直角坐标系中,给定向量,作 .由空间向量基本定理,存在 唯一的有序实数组,使.有序实数组_____叫作 在空间 直角坐标系 中的坐标,可简记作_____. 【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1） 既可以表示向量,也可以表示点.( ) √ [解析] 空间中的点和向量都可以用有序实数组表示,符号 具有双 重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分. （2）点在空间直角坐标系中的 轴上.( ) × [解析] 点在空间直角坐标系中的 平面上. （3）点在空间直角坐标系中的 平面上.( ) × [解析] 点在空间直角坐标系中的 轴上. （4）已知，，分别是空间直角坐标系中轴、轴、 轴的正方向上的 单位向量，且，则点的坐标一定是 .( ) × [解析] 由只能确定向量，而向量的起点 的 坐标未知，故终点 的坐标不确定. 探究点一 求空间点的坐标 例1 已知在正四棱锥中， 为底面中心，底面边长和高都是2， ，分别是侧棱， 的中点． ① （1）如图①，以为坐标原点，分别以，，的方向为 轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点,,, , ,, 的坐标； 解：设，，分别是与轴、轴、 轴的正方向方向相同的单位坐标向量． 连接，因为点在平面内，且底面正方形的中心为 ，边长为2， 所以，所以向量的坐标为，即点的坐标为 ， 同理可得点的坐标为，点的坐标为，点 的坐标为 ． 因为点在轴的正半轴上，正四棱锥的高为2，所以 ，所以 向量的坐标为，即点的坐标为 ． 连接，因为为侧棱 的中点，所以 ，所以向量 的坐标为 ，即点的坐标为 ， 同理可得点的坐标为 . 综上可知，，，，， ， ， . （2）如图②，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、 轴 的正方向，建立空间直角坐标系，写出点,,,,,, 的坐标. ② [解] 因为底面正方形的中心为，边长为2，所以，又因为点 在轴的正半轴上，所以，即点的坐标为， 同理可得点 的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 . 因为点在轴的正半轴上，正四棱锥的高为2，所以 ，所以 向量的坐标为，即点的坐标为 . 连接，因为为侧棱 的中点，所以 ， 所以向量的坐标为，即点的坐标为，同理可得点 的坐标 为 . 综上可知，，，，， ， ， . 变式（1） （多选题）在棱长为1的正方体中,建立如图所 示的空间直角坐标系,则下列各点在正方体内或正方体表面 上的是( ) ACD A. B. C. D. [解析] 由已知可得,若 为正方体内或正方体表面上的一 ... ...
