人教A版高中数学必修第一册课后 同步检测 11　基本不等式（原卷版+解析版）

同步检测11　基本不等式 (分值：102分) 一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共37分) 1．如果00，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 7．(多选)设a>0，b>0，已知M＝，N＝，则下列说法正确的是(　　) A．M有最小值 B．M没有最大值 C．N有最大值为 D．N有最小值为 二、填空题(每小题5分，共10分) 8．[2024·河南商丘高一月考]设a>0，则a＋＋1的最小值为_____． 9．[2024·江西南昌高一月考]已知a>0，b>0，4a＋b＝ab，则ab的最小值是_____． 三、解答题(共13分) 10．(13分)已知正数a，b满足a2＋b2＋ab＝3. (1)求的最大值； (2)求a＋b的最大值． 11.(5分)[2024·湖南娄底高一月考]已知x>0，则的最小值为(　　) A．5 B．3 C．－5 D．－5或3 12．(15分)完成下列不等式的证明： (1)对任意的正实数a，b，c，证明：a＋b＋c≥＋＋； (2)设a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，证明：ab＋ac＋bc≤. 13.(5分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，若α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是_____． 14．(17分)(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，求ab的最大值； (2)已知正数x，y满足x＋3y＝3xy－1，求2x＋3y的最小值．同步检测11　基本不等式 (分值：102分) 23 一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共37分) 1．如果00，则x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝时，即x＝±1时，等号成立， 故x2＋的最小值为2. 3．若正数x，y满足xy＝100，则x＋y的最小值是(　　) A．10 B．20 C．100 D．200 答案：B 解析：由题意得x＋y≥2＝20，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，故x＋y的最小值是20. 4．[2024·山东青岛高一月考]已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．2 答案：D 解析：因为x，y为正实数，则＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝y时，等号成立， 所以＋的最小值为2. 5．[2024·安徽皖北高一联考]若正数x，y满足＋2＝2，则xy的最大值为(　　) A．6 B．9 C． D． 答案：C 解析：因为＋2＝2≥2， 所以8≤12，≤，xy≤，当且仅当x＝3，y＝时取等号． 6．(多选)[2024·广东揭阳高一月考]若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2 答案：AD 解析：对于A， a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab成立，A正确； 对于B，由于a，b∈R，且ab>0，当a<0，b<0时，a＋b<0，而2>0，不等式不成立，B错误； 对于C，由于a，b∈R，且ab>0，当a<0，b<0时，＋<0，而>0，不等式不成立，C错误； 对于D，由a，b∈R，且ab>0，得>0，>0，则＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时取等号，D正确． 7．(多选)设a>0，b>0，已知M＝，N＝，则下列说法正确的是(　　) A．M有最小值 B．M没有最大值 C．N有最大值为 D．N有最小值为 答案：ABD 解析：a>0，b>0，M＝＝＋≥2 ＝2，当且仅当＝即a＝b时等号成立，故A正确，B正确； 又a>0，b>0 ... ...