9.7 平面与平面的位置关系 1．两个平面之间的位置关系 (1)位置关系：平行和相交 (2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l． 2．平面与平面平行 (1)平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 符号表示：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β． (2)推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 符号表示：若a α，b α，a∩b＝P， a′ β，b′ β，a∥a′，b∥b′，则α∥β． 注意：如果两个平面平行，一个平面内的直线与另一个平面内的直线的位置关系：平行或异面． (3)平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号表示为：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b a∥b． 注：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面． (4)平行平面间的距离 平行平面的公垂线：与两个平行平面都垂直的直线，称为这两个平行平面的公垂线．公垂线夹在这两个平行平面间的线段，称为这两个平行平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，称为两个平行平面间的距离． 注：夹在两个平行平面之间的平行线段相等． 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它垂直于另一个平面． (5)平面平行的传递性 若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 3．平面与平面相交 (1)二面角 ①二面角的定义 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．棱为l，半平面分别为α，β的二面角，记作二面角α-l-β．如图． ②二面角的平面角 如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB称为二面角的平面角． 规定：二面角的大小用它的平面角θ来度量，二面角的范围是[0，π]，平面角是直角的二面角称为直二面角． (2)平面与平面垂直 ①平面与平面垂直定义 两个平面相交，如果它们成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β． ②平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 符号表示为：l⊥α，l β β⊥α． ③平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 符号表示：α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β． 注：过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直； 垂直于同一个平面的两个平面不一定平行； 平行于同一个平面的两个平面平行； 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 1．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( ) A．平行 B．直线在平面内 C．相交或直线在平面内 D．平行或直线在平面内 D [设这两个平面为α，β，直线l∥α，且α∥β， 如果l β，由l∥α，α∥β，可得l∥β，即直线平行于另一个平面； 如果l β，由α∥β可知，l∥α，满足题意，则直线可以在另一个平面内．故选D．] 2．如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b( ) A．共面 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 D [α∥β，说明a与b无公共点，所以a与b可能平行也可能是异面直线．故选D．] 3．若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 D [因为直线a与点B ... ...
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