11.3 复数的运算 1．复数加法的法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝a＋c＋(b＋d)i，显然，两个复数的和仍然是复数． 2．复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3．复数加法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1Z Z2，则z1＋z2所对应的向量就是，如图所示． 4．复数的减法 (1)复数的相反数：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z＝－a－bi． (2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝z1＋(－z2)＝(a＋bi)－(c＋di)＝a－c＋(b－d)i．显然，两个复数的差仍然是复数． 5．复数减法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是_，如图所示． 6．复数的乘法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i．这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝－1，再合并同类项即可． 显然，两个复数的积仍然是复数，其运算律满足交换律、结合律，且对加法满足分配律，即＝z2z1；(2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)；＝z1z2＋z1z3． 7．复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，称为z的n次方(或n次幂)，记作zn．当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n；(zm)n＝zmn；(z1z2)n＝． 1．已知z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，则z1＋z2等于( ) A．4＋i B．4－i C．－4＋i D．－4－i B [∵z1＝8－3i，z2＝－4＋2i，∴z1＋z2＝(8－4)＋(－3＋2)i＝4－i，故选B．] 2．已知z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，则z1－z2等于( ) A．10＋6i B．10－6i C．－10＋6i D．－10－6i C [∵z1＝－7＋2i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(－7－3)＋[(2－(－4)]i＝－10＋6i，故选C．] 3．已知z1＝－1＋i，z2＝2－3i，则z1z2等于( ) A．1＋5i B．1－5i C．－1＋5i D．－1－5i A [∵z1＝－1＋i，z2＝2－3i，∴z1z2＝(－1＋i)(2－3i)＝(－1)×2－1×(－3)＋[2×1＋(－1)×(－3)]i＝1＋5i，故选A．] 4．已知z＝3－mi(m∈Z)，若z＝25，则m等于( ) A．4 B．±4 C．5 D．±5 B [∵z＝3－mi(m∈Z)，∴＝32＋m2＝25，解得m＝±4，故选B．] 5．已知z＝－1＋i，则z4等于( ) A．4 B．－4 C．4i D．－4i B [∵z＝－1＋i，∴z2＝(－1＋i)2＝－2i，∴z4＝(－2i)2＝－4，故选B．] 题型1：复数的加法 例1 已知复数z1＝5－6i，z2＝－x＋yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝1＋i，则x，y的值分别为( ) A．x＝4，y＝5 B．x＝－4，y＝－5 C．x＝4，y＝7 D．x＝－4，y＝－7 C [∵z1＝5－6i，z2＝－x＋yi，且z1＋z2＝1＋i， ∴(5－x)＋(－6＋y)i＝1＋i，∴5－x＝1，－6＋y＝1，解得x＝4，y＝7，故选C．] 点拨：牢记两个复数加法的法则是进行复数加法计算的关键，可用自然语言记忆：实部加实部为实部，虚部加虚部为虚部． 已知复数z1＝5－4i，z2＝－5－3i，则复数z1＋z2等于( ) A．10－7i B．10＋7i C．－7i D．7i C [∵复数z1＝5－4i，z2＝－5－3i，∴z1＋z2＝(5－4i)＋(－5－3i)＝(5－5)＋(－4－3)i＝－7i，故选C．] 题型2：复数的减法 例2 已知复数z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，则复数z1－z2等于( ) A．4－i B．4＋i C．－4－i D．－4＋i B [∵z1＝9＋7i，z2＝5＋6i，∴z1－z2＝(9＋7i)－(5＋6i)＝(9－5)＋(7－6)i＝4＋i，故选B．] 点拨：复数的减法是复数加法的逆运算，牢记两个复数相减的法则是进行复数减法计算的关键，可用自然语言记忆：实部减实部为实部，虚部减虚部为虚部． 已知复数z1＝－2－3i，z2＝－8＋4i，则复数z1－z2等于( ) A．－6－7i B．－6＋7i C．6－7 ... ...
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