11.4 复数的应用 1．实数系一元二次方程的定义 一般地，当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为_____一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，记Δ＝b2－4ac，称它为方程ax2＋bx＋c＝0的_____． 2．实数系一元二次方程的根 (1)当Δ≥0时，方程在实数集R中有解，x＝． (2)当Δ＜0时，方程在实数集R中无解，但是在复数集C中有解，x＝，显然，这两个根是一对共轭复数． 3．实数系一元二次方程的根与系数的关系 设方程的两个互为共轭的虚数根分别是x1，x2，则x1＋x2＝_____，x1x2＝． 这就是说，实数系一元二次方程的根与系数的关系，在Δ＜0时也成立． 1．方程x2＝－9所有的根是( ) A．3i B．－3i C．±3i D．不存在 2．已知方程x2－4x＋5＝0的一个根是2＋i，则另一个根是( ) A．2－i B．－2＋i C．－2－i D．1－2i 3．已知方程x2－mx＋10＝0的一个根是1＋3i，则实数m的值是( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 4．已知方程x2＋mx＋n＝0的一个根是3＋4i，则实数m，n的值分别是( ) A．6，8 B．6，－8 C．－6，25 D．－6，－25 5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，a≠0)，“Δ＜0”是“方程ax2＋bx＋c＝0有一对共轭复数根”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型1：实数系一元二次方程根的判断 例1 关于方程x2＋x＋1＝0的根，判断正确的是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一对共轭复数根 D．有且只有一个虚数根 C [∵方程x2＋x＋1＝0的系数是实数，方程的判别式Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，∴方程x2＋x＋1＝0没有实数根，∴该方程有一对共轭复数根，故选C．] 点拨：由于数系的扩充，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0如果不特别说明，系数a，b，c在复数集C内取值，因此要强调a，b，c∈R，当确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0为实数系一元二次方程后，可用判别式Δ＝b2－4ac的符号判断方程根的情形． 若方程x2－mx＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( ) A．(0，4) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 题型2：实数系一元二次方程根的求解 例2 在复数集范围内解方程： (1)2x2＋4x＋5＝0；(2)x2＋2x－8＝0． [解析] (1)法一：∵方程2x2＋4x＋5＝0的根的判别式Δ＝42－4×2×5＝－24＜0，∴方程的根为x＝＝－1±i． 法二：∵2x2＋4x＋5＝0等价于x2＋2x＋＝0，即(x＋1)2＝－，∴x＋1＝±i， ∴x＝－1±i． (2)法一：∵方程x2＋2x－8＝0的根的判别式Δ＝22－4×1×(－8)＝36＞0， ∴方程的根为x＝＝， ∴方程的根为x1＝2，x2＝－4． 法二：∵x2＋2x－8＝0等价于(x＋1)2＝9， ∴|x＋1|＝3，解得x1＝2，x2＝－4． 点拨：关于实数系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)的求解，可以首先根据该方程根的判别式Δ＝b2－4ac的符号判断方程根的情形，然后应用求根公式；也可以对实数系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0直接配方求解． 在复数集范围内解下列方程： (1)x2－x＋1＝0； (2)x2－2x＋4＝0． 题型3：实数系一元二次方程根与系数之间关系的应用 例3 已知关于x的方程x2＋mx＋2＝0(m∈R)的两个根分别是x1，x2，若x1＋x2＝2，则该方程的根是( ) A．±1 B．±i C．1±i D．±1＋i C [∵方程x2＋mx＋2＝0(m∈R)的两个根分别是x1，x2，且x1＋x2＝2，∴－m＝2，即m＝－2，∴方程x2－2x＋2＝0，方程根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4＜0，∴方程x2－2x＋2＝0的根为x＝1±i，故选C．] 点拨：实数系一元二次方程一定有两个根，因此根与系数的关系对于任何一个实数系一元二次方程总是成立的． 已知关于x的方程x2＋mx＋3＝0(m∈R)的两个根 ... ...
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