12.3 角的平分线的性质 重难点突破 任务式练习（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级上册

12.3　角的平分线的性质 任务一　角的平分线的性质 母题1　如图,∠B=∠C=90°,M是BC上一点,且DM平分∠ADC,AM平分∠DAB,求证:AD=CD+AB. 变式练1：如图,∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,求证:PC=PD. 任务二　角的平分线的判定 母题2　如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA,交BA的延长线于点H. (1)若点P到直线BA的距离为5,求点P到直线BC的距离. (2)求证:点P在∠HAC的平分线上. 变式练2：如图,点A,B在射线OM上,点C,D在射线ON上,已知AB=CD,S△ABP=S△CDP,求证:点P在∠MON的平分线上. 任务三　角平分线的性质与探究性问题 母题3　如图1,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B和∠D都是直角. (1)求证:BC=CD. (2)若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”改为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变,如图2.猜想:BC边和邻边CD的长度是否一定相等 请证明你的结论. 变式练3：在△ABC中,∠ACB=2∠B. (1)如图1,当∠C=90°,AD为∠BAC的平分线,点D在射线BC上时,求证:AB=AC+CD. (提示:在△ABC中,若∠BAC=∠B,则AC=BC) (2)如图2,当∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线,点D在射线BC上时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系 不需要证明,请直接写出你的猜想. (3)如图3,当AD为△ABC的外角平分线,点D在射线BC上时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系 请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明. 参考答案 母题1　证明:如图,过点M作ME⊥AD于点E. ∵∠B=∠C=90°,DM平分∠ADC,AM平分∠DAB, ∴∠C=∠DEM=90°,∠B=∠AEM=90°,∠CDM=∠EDM,∠EAM=∠BAM. 在△MCD和△MED中, ∴△MCD≌△MED(AAS),∴CD=DE. 同理,AE=AB,∴AD=DE+AE=CD+AB, 即AD=CD+AB. 变式练1　证明:如图,过点P点作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F, ∴∠PEC=∠PFD=90°. ∵OM是∠AOB的平分线, ∴PE=PF. ∵∠AOB=90°,∠CPD=90°, ∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°, 而∠PDO+∠PDF=180°, ∴∠PCE=∠PDF. 在△PCE和△PDF中, ∴△PCE≌△PDF(AAS), ∴PC=PD. 母题2　解:(1)如图,过点P作PF⊥BE于点F. ∵点P在∠ABC的平分线上,PH⊥BA,PF⊥BE, ∴PF=PH=5,即点P到直线BC的距离为5. (2)证明:∵点P在∠ACE的平分线上,PD⊥AC,PF⊥BE, ∴PF=PD. ∵PF=PH,∴PD=PH. ∵PD⊥AC,PH⊥BA, ∴点P在∠HAC的平分线上. 变式练2　证明:如图,过点P作PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F. ∵S△ABP=S△CDP, ∴AB·PE=CD·PF. ∵AB=CD,∴PE=PF,而PE⊥OM,PF⊥ON, ∴点P在∠MON的平分线上. 母题3　解:(1)证明:∵∠D=∠B=90°, ∴CD⊥AD,CB⊥AB. ∵AC平分∠BAD,∴BC=CD. (2)一定相等. 证明:如图,过点C作CE⊥AD于点E,作CF⊥AB于点F, ∴∠CBF与∠ABC互补. ∵∠ABC和∠D互为补角, ∴∠D=∠CBF. 又∵AC是∠BAD的平分线,∴CE=CF. 在△DCE与△BCF中, ∴△DCE≌△BCF(AAS), ∴BC=CD. 变式练3　解:(1)证明:如图1,过点D作DE⊥AB,交AB于点E. ∵AD为∠BAC的平分线,DC⊥AC,DE⊥AB, ∴DE=DC. 在Rt△ACD和Rt△AED中, ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴AC=AE,∠ACB=∠AED. ∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B. 又∵∠AED=∠B+∠EDB, ∴∠B=∠EDB,∴BE=DE=DC, ∴AB=BE+AE=CD+AC,即AB=CD+AC. (2)AB=CD+AC. 提示:如图2,在AB上截取一点G,连接DG,使得AG=AC. ∵AD为∠BAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD . 在△ADG和△ADC中, ∴△ADG≌△ADC(SAS), ∴CD=DG,∠AGD=∠ACB. ∵∠ACB=2∠B,∴∠AGD=2∠B. 又∵∠AGD=∠B+∠GDB, ∴∠B=∠GDB,∴BG=DG=DC, 则AB=BG+AG=CD+AC, 即AB=CD+AC. (3)AB=CD-AC. 证明:如图3,在AF上截取一点G,使得AG=AC,连接GD. ∵AD为∠FAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD. 在△ADG和△ADC中, ∴△ADG≌△ADC(SAS), ∴CD=GD,∠AGD=∠ACD,即∠ACB=∠FGD. ∵∠ACB=2∠B,∴∠FGD=2∠B. 又∵∠FGD ... ...