6．1.4 数乘向量 必备知识基础练 1．(5分)下列各式中不表示向量的是( ) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D．e(x，y∈R且x≠y) 答案：C 解析：向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量． 2．(5分)(2a－b)－(2a＋b)＝( ) A．a－2b B．－2b C．0 D．b－a 答案：B 解析：原式＝2a－2a－b－b＝－2b. 3．(5分)4(a－b)－3(a＋b)－b＝( ) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b 答案：D 解析：4(a－b)－3(a＋b)－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b. 4．(5分)[2024·郸城一高高一检测]在△ABC中，点D满足＝2，则＝( ) A．－ B．＋ C．＋ D．－ 答案：A 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－. 5．(5分)[2024·绵阳东辰国际学校高一月考]已知a，b是平面内两个不共线向量，＝ma＋2b，＝3a－b，A，B，C三点共线，则m＝( ) A．－ B． C．－6 D．6 答案：C 解析：∵A，B，C三点共线，∴与共线，∴存在λ，使＝λ，∴ma＋2b＝3λa－λb，且a，b不共线，∴解得m＝－6. 归纳总结：(1)证明向量平行，只需证明存在实数λ使得b＝λa. (2)证明三点共线，除证明两向量平行外，还需要说明两向量有公共点． 6．(5分)设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积之比是_____． 答案：1∶2 解析：∵＝2，∴点P为边AC上靠近点A的三等分点，设点B到AC的距离为h，则S△PAB＝||·h，S△PBC＝||·h，又||∶||＝1∶2，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2. 关键能力综合练 7.(5分)在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝( ) A．2 B．－2 C． D．－ 答案：D 解析：如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)，因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)＋t，又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－.故选D. 8．(6分)(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( ) A．－＝ B．＋＋＋＝0 C．|＋2|＝0 D．＝(＋2) 答案：ABC 解析：－＝＝，故A中结论正确；＋＋＋＝0，故B中结论正确；易知△OCD∽△OBA，所以＝＝，所以＝－，所以|＋2|＝|－|＝|0|＝0，故C中结论正确；＝＝(＋)＝(＋2)，故D中结论不正确．故选ABC. 9．(6分)(多选)设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是( ) A．2a＝b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 答案：AC 解析：，分别表示a，b的单位向量． 对于A，当2a＝b时，＝＝； 对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠； 对于C，当a＝2b时，＝＝； 对于D，当a∥b且|a|＝|b|时， 可能有a＝－b，此时≠. 综上所述，使＝成立的条件是a＝2b，2a＝b. 10．(5分)正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美几何图形，在如图所示的正五角星中，＝，若＝a，则＋＝_____．(用a表示) 答案：a 解析：∵＝＝， ∴＝＝， ∴＝＝a， ∴＋＝＋＝＝a. 11．(5分)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝_____． 答案：2 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， 所以＋＝，又O为AC的中点， 所以＝2，所以＋＝2. 因为＋＝λ，所以λ＝2. 12．(13分)如图所示，已知 ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，. 解析：设＝x，＝y，则＝x，＝－y. 由＋＝，＋＝得 解得x＝（2e2－e1），即＝e2－e1. 同理得y＝（－2e1＋e2），即＝－e1＋e2. 核心素养升级练 13.（15分）已知A，B，C三点共线，且＝，分别用，表示. 解析：因为A，B，C三点共线，且＝， 所以B，C两点可能在点A的同侧， 也可能在点A的异侧． 当B，C两点在点A的同侧时，有＝， 则AB＝BC，因为向量与的方向相同， 所以＝＝－. 当B，C两点在点A的异侧时，有＝， ... ...
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