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课件网) 第四章 §4 指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较 *§5 信息技术支持的函数研究 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具,在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 问题:观察函数y=x2,y=2x,y=log2x在区间(0,+∞)上的图象,思考几个问题: (1)三个函数在区间(0,+∞)上的图象有什么特点 提示: 三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增. (2)当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快 哪个最慢 提示: 三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x增长速度最快,y=log2x增长速度最慢. 三种函数的增长趋势 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (x>0,α>0) 在(0,+∞) 上的增减性 . 图象的变 化趋势 随x增大, 近似与y轴平行 随x增大, 近似与x轴平行 α值较小(α<1)时,增长较慢; α值较大(α>1)时,增长较快 增函数 增长速度 ①随x增大,y=ax增长速度 ,并且当a越大时,y=ax增长速度 .随x增大,y=ax增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度. ②随x增大,y=logax增长速度 ,并且当a越大时,y=logax增长速度 . ③存在一个x0,当x>x0时,有 . 越来越快 越快 越来越慢 越慢 ax>xα>logax 三种函数增长对比 对数函数随x的增大,增长速度越来越慢,幂函数增长和指数函数增长的快慢交替出现,当x足够大时,一定有指数函数的增长快于幂函数的增长,幂函数的增长快于对数函数的增长. 归纳： 知识点一：三种函数的增长趋势 [例1] 下列函数中,增长速度最快的是( ) A.y=2 023x B.y=x2 023 C.y=log2 023x D.y=2 023x 解析:指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快.故选A. √ 方法总结：三种函数模型的表达形式及其增长特点 (1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型, 其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”. (2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n (m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快, 但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”. (3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长 情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型. 知识点二：指数函数、对数函数与一次函数模型的比较 [例2] 函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两函数的图象交于 点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1
g(x); 当x1x2时,f(x)>g(x); 当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x). (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 023),g(2 023)的大小. 解: (2)因为f(1)>g(1),f(2)g(14), 所以1x2. 从题图可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2 023)>g(2 023). 又g(2 023)>g(6), 所以f(2 023)>g(2 023)>g(6)>f(6). 方法总结：由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法 根据图象判断增长型指数函数、对数函数和一次函数时,通常是观察函数图象上升 的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,图象呈直线上升的函数是一次函数. 知识点三：函数模型的选择 [例3] 某汽车制造商在2023年初公 ... ... 
