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课件网) 2.2.3 直线的一般式方程 学习目标 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 复习回顾 直线方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 × √ √ × √ √ × × √ × × × 新课讲授 观察我们已经学习的直线的四个方程，点斜式y－y0＝k(x－x0)，斜截式y＝kx＋b，两点式＝，截距式＋＝1，你能发现它们都是什么类型的方程？ 都是关于x，y的二元一次方程 思考1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 任意一条直线l，在其上任取一点P0(x0，y0)， 当直线l的斜率为k时，方程为y－y0＝k(x－x0)，这是关于x，y的二元一次方程； 当直线l的斜率不存在时，其方程为x－x0＝0，可认为是关于x，y的二元一次方程(y的系数为0)， ∴平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示． 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线. 思考2：任意一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？ 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点(0，- )，斜率为- 的直线． 当B＝0时，A≠0，方程Ax＋By＋C＝0可变形为x＝－，它表示过点(－，0)， 且垂直于x轴的直线． 故关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线． 我们把关于的二元一次方程 (其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 注：直线的一般式适用于所有直线. 概念讲解 例1 已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6，－4)，斜率为－的直线的点斜式方程是y＋4=－(x－6)， 化为一般式，得4x＋3y－12＝0. 例2 把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形. 解：把直线的一般式方程化为斜截式. 因此，直线的斜率，它在轴上的截距是. 在直线的方程中，令，得， 即直线在轴上的截距是. 由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，， 过，两点作直线，就得直线(如图). 练1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. 解：(1)由点斜式得直线方程为y－3=(x－5)，即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式得直线方程为，即2x＋y－3＝0. (3)由截距式得直线方程为，即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0). (1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 利用一般式解决直线的平行与垂直问题 知识讲解 例3 (1)已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，求实数a的值. (2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直，求实数a的值. 解：(1)∵直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行， ∴3×8－(－4)a＝0 ，解得a＝－6 . (2)由直线l1⊥l2，得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1. 故当a=1或a=-1时，直线l1⊥l2. 练2.已知点A(2，2)和直线l:3x+4y-20=0. 求:(1)过点A和直线l平行的直线方程; (2)过点A和直线l垂直的直线方程. 解：(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0， 又过点A(2，2)，所以3×2+4×2+C1=0，所以C1=-14. 所求直线方程为3x+4y-14=0. (2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0， 又过点A(2，2)，所以4×2-3×2+C2=0，所以C2=-2， 所以直线方程为4x-3y-2=0. 例4 直线y=k(x+2)+3恒过定点_____． 变式1:无论k为何值时 ... ...
