九年级数学上点拨与精练 第24章圆24.1.2 垂直于弦的直径（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 九年级数学上点拨与精练 第24章 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 学习目标： 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步运用垂径定理进行计算及证明； 通过圆的对称性，培养学生对数学的审美，并激发学生对数学的热爱。 老师告诉你 垂径定理基本图形计算中的“四变量、两关系” 四变量： ⊙O中，弦长a，圆心到弦的距离d,半径r，劣弧的中点到弦的距离h，这四个量中知任意两个可求其它两个。 2.两关系： （1）+d2=r2 (2) h+d=r 注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形。 一、知识点拨 知识点1 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴； 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。 【新知导学】 例1．下列说法中，不正确的是( ) A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 【对应导练】 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是( ) A.每一条直径都是圆的对称轴 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴与对称中心重合 知识点2 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的依据是圆的轴对称性 【新知导学】 例2．如图，在半径为5cm的中，弦，于点C，则OC的长度等于( ) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 【对应导练】 1．如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为( ) A. B. C. D. 2．如图,AB是的直径,弦,垂足为P.若,,则的半径为( ) A.10 B.8 C.5 D.3 3．已知的半径为,,是的两条弦,,,,则弦和之间的距离是_____. 知识点3 垂径定理的推论 1.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。 2.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 【新知导学】 例3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，B，C，其中B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为( ) A. B. C. D. 【对应导练】 1．如图，AB，CD是的两条平行弦，MN是AB的垂直平分线.求证：MN垂直平分CD. 2．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为( ) A.4 B. C.5 D. 3．如图，OA，OB，OC都是的半径，AC，OB交于点D.若，，则BD的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4．如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是( ) A.9 B. C. D. 知识点4垂径定理的应用 常用垂径定理及推论进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解． 特别注意右图形的运用。常作辅助线：弦心距。 利用弦的垂直平分线可以确定圆心。 【新知导学】 例4．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，若，为水面截线，，为桌面截线，. (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度(不要求尺规作图，不说理由)，并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少. 【对应导练】 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心.，C是上一点，，垂足为D，.求这段弯路的半径. 2．如图(1),是中国传统园林建筑中的月亮门,拱门的上部分是圆的一段弧.随着四季更迭,半遮半掩之间,便将丝丝景致幻化成诗情画意.图(2)是月亮 ... ...