中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第三册 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 8.1.2 向量数量积的运算律 基础过关练 题组一 向量的数量积 1.(2024山东淄博实验中学诊断)已知平面向量a,b的夹角为,|a|=3,|b|=2,则(a+b)·(a-2b)的值为( ) A.-2 B.1-3+1 2.已知向量a,b,c和实数λ,则下列各式一定正确的是 .(填序号) ①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb);③(a+b)·c=a·c+b·c;④(a·b)c=a(b·c). 题组二 向量的投影 3.(2024山东德州夏津第一中学阶段练习)已知平面内的向量a在向量b上的投影的数量为,且|a|=|b|=1,则|a-2b|的值为( ) A. 4.(2024河北石家庄部分重点中学期末)在等边△ABC中,,则向量上的投影向量为( ) A. 5.已知非零向量a,b,若a在b上的投影的数量为3,|b|=2,则a·b= . 题组三 向量的模和夹角 6.(2024山东省名校联盟开学考试)已知非零向量a,b满足|a|=|b|,且|a+2b|=|a|,则a与b的夹角为( ) A. 7.(2022河北邯郸开学考试)已知非零向量a与b满足|a|=3|b|,且|a+2b|=2|a-2b|,则向量a与b的夹角的余弦值是( ) A.- 8.(2024上海复旦大学附属中学期末)设a,b是单位向量,且a·b=,向量c满足(c-a)·(c-2b)=,则|c|的取值范围是 . 9.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,,若=-3,则cos∠DAB= . 题组四 向量垂直 10.已知△ABC中,,则△ABC是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 11.(多选题)(2023浙北G2联盟期中)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=,则以下结论正确的是( ) A.a⊥b B.|a-b|= C.|2b-a|=5 D.(a+b)⊥(a-b) 12.(2024浙江宁波镇海中学期末)设e1,e2为两个单位向量,且
=,若e1+λe2与3e1+4e2垂直,则λ= . 能力提升练 题组一 向量的模和夹角 1.(多选题)(2023浙南名校联盟期中)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=,若该平面内的向量a满足a·e1=a·e2=1,则( ) A.= B.a⊥(e1-e2) C.a=(e1+e2) D.|a|= 2.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且其夹角为θ,则“|a-b|>1”是“θ∈”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2024重庆万州一中月考)在△ABC中,点D在边AB上,且BD=2DA,点E满足,若AB=AC=6,=6,则||=( ) A. C.12 D.11 4.(2024辽宁沈阳二中月考)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos=( ) A. 5.(2022浙江北斗联盟期中)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a|=2|b|,设a-b与a+b的夹角为θ,则cos θ的最小值为( ) A. 题组二 向量的数量积及其应用 6.(2024北京师大附中期末)如图,圆M为△ABC的外接圆,AB=4,AC=6,N为BC的中点,则=( ) A.10 B.13 C.18 D.26 7.(2024湖北十一校期末联考)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,P为半圆弧上的动点(含端点),则的取值范围为( ) A.[2,6] B.[2,3] C.[4,6] D.[4,8] 8.(2022辽宁沈阳五校协作体期中)如图,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°. (1)求||; (2)已知点D是AB上一点,满足,点E是CB上一点,满足. ①当λ=时,求; ②是否存在非零实数λ,使得 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 8.1.2 向量数量积的运算律 基础过关练 1.C a·b=|a|·|b|cos=-3,∴(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=32-(-3)-2×22=4. 2.答案 ①②③ 解析 显然①②③正确;令m=a·b,n=b·c,则(a·b)c=mc,a(b ... ... 
