中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第四册 专题强化练4 空间中的垂直关系 1.(2022华大新高考联盟教学质量测评)已知l,m,n是空间中三条不同的直线,α,β是空间中两个不同的平面,且m α,n α,l β,m∩n=A,则“α⊥β”是“l⊥m,l⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在三棱锥P-ABC中,AC⊥BC,PA⊥平面ABC,AC=BC=2,PA=4,则PC与平面PAB所成角的正切值为( ) A.1 B. C. D. 3.(2022浙江宁波期末)如图,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为MC的中点,则下列结论不正确的是( ) A.平面BCE⊥平面ABN B.MC⊥AN C.平面CMN⊥平面AMN D.平面BDE∥平面AMN 4.(2024山东泰安新泰第一中学月考)在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,BD⊥CD,平面ABC⊥平面BCD,若该三棱锥的外接球的表面积为16π,则AD= . 5.(2023陕西西安月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时,BD⊥平面PAC 证明你的结论; (2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围. 6.(2022福建莆田一中期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=2AD,E为线段BC的中点. (1)求证:平面PDE⊥平面PAD; (2)在线段PB上找一点F,使得EF∥平面PCD,则满足题意的点F是否存在 若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由; (3)若Q是PC的中点,AB=1,PA=2,BC=2,求三棱锥P-ABQ的体积. 7.(2022浙江衢州期中)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点. (1)求证:平面BAE⊥平面A1BD; (2)求平面DBA1与平面BAA1所成角的余弦值; (3)在线段B1B(含端点)上是否存在点M,使点M到平面A1BD的距离为 若存在,请指出点M的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.B 由图可知充分性不成立. 下面证明必要性: ∵m α,n α,m∩n=A,l⊥m,l⊥n,∴l⊥α, 又l β,∴α⊥β,故必要性成立. 故选B. 2.B 在平面ABC内,过点C作CD⊥AB,垂足为D,连接PD.∵AC=BC=2,∴D是AB的中点,且CD=,PD=3.∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥CD, ∵CD⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,∴CD⊥平面PAB,∴∠CPD即为PC与平面PAB所成的角, ∴tan∠CPD===, 故PC与平面PAB 所成角的正切值为.故选B. 3.C 分别过A,C作平面ABCD的垂线AP,CQ,使得AP=CQ=1,连接PM,PN,QM,QN,将几何体补成棱长为1的正方体. ∵BC⊥平面ABN,BC 平面BCE,∴平面BCE⊥平面ABN,故A正确;连接PB,则PB∥MC,显然PB⊥AN,∴MC⊥AN,故B正确; 取MN的中点F,连接AF,CF,AC,∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形,∴AF⊥MN,CF⊥MN,∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角, ∵AF=CF=,AC=, ∴AF2+CF2≠AC2,即∠AFC≠, ∴平面CMN与平面AMN不垂直,故C错误; ∵DE∥AN,BD∥MN,且DE∩BD=D,AN∩MN=N, DE,BD 平面BDE,AN,MN 平面AMN,∴平面BDE∥平面AMN,故D正确.故选C. 4.答案 2 解析 如图,不妨记BC=2a(a>0),BC的中点为O,连接AO,OD, 因为△ABC是等边三角形,所以AO⊥BC, 又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AO 平面ABC,所以AO⊥平面BCD, 因为BD⊥CD,所以BC是△BCD外接圆的直径,O为外接圆的圆心, 等边△ABC的外接圆的圆心为线段AO上靠近点O的三等分点, 所以该三棱锥的外接球的球心为线段AO上靠近点O的三等分点, 则外接球的半径为2a××=a. 又外接球的表面积为16π, 所以4π·=16π,所以a=. 在Rt△BCD中,OD=BC=, 所以在Rt△AOD中,AD==2. 小题速解 求解两个面互相垂直的三棱锥外接球的半径可以应用公式(2R)2=(2r1)2+(2r2)2-l2,此公式称为双半径单交线公式,r1,r2为两个互相垂直平面的外接圆半径,l为两个互相垂直平面的交线长. 在本题中,由(2R)2=(2a) ... ...
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